136 Transcendente krumlne Linien. 
Da der Anfang der Bewegung des Kreises willkührlich ist, so 
Fig. 28. nehme ich denselben im Punkte A der Fig. 28. an, wo der beschreib 
bende Punkt M sich in der Linie A B befand, über die der erzeu 
gende Kreis Dl O hinrollt. Weil dieser Kreis, bei seiner Be 
wegung , nach und nach alle Punkte seines Umfangs die Gerade 
AB berühren laßt, so ist klar, daß, wenn er in eine beliebige 
Lage QMG gelangt ist, die Distanz A(^ alsdann dem Bogen 
MQ gleich ist, welcher sich zwischen dem Punkte M, der die 
Gerade AB in A berührte, und dem dieselbe in der gegenwärtigen 
Lage des Erzeugungs - Kreises berührenden Punkte Q befindet. 
Errichtet man im Punkte Q, auf die Gerade AB, die Senk 
rechte Q O , welche durch den Mittelpunkt des Erzeugungs-Krei-, 
ses hindurchgehen wird, und zieht M N parallel mit AB, so wird 
MN der Sinus, nnd N Q der Sinus versus, des Bogens MQ 
seyn (Trig. rc. §. 5.) 
Setzt man also: 
QO=a, AP=x, PM = QN = y, 
so erhält man: 
x---AQ —BQ-^BogenMQ —sin.MQ, 
y — sin. vers. MQ, 
sin. MQ = MN =T2ay — y 2 * 
mithin, wenn wir von der S. 49 angewandten Bezeichnung Ge 
brauch machen: 
„X — arc, (sin. vers. ==j) — 1/^2 ay—y 2 
die ursprüngliche Gleichung der Cycloide. *) 
*) Wollte man die Cycloide durch Punkte verzeichnen, so würde cs bequem 
seyn die trigonometrischen Tabellen anzuwenden; da dieselben aber für 
den Halbmesser — 1 berechnet sind, so muß ein Bogen t genommen 
werden, welcher eben so viele Grade enthalt, als der Bogen MQ; 
man hat demnach 
Bogen MQ — a.t, sin. MQ — a . sin, t, sin. vers, 
M Q = a . sin. vers. t, und folglich 
y = a (r — sin. l), y = a »in. vers. t, oder, was dasselbe ist: 
x ----- are. ^sin. vers. ----- ^ ^ — Y~2 a y — y 2 . f) 
Die letzte Linie muß heißen: x — a x arc, ^sin. vers. ----- ^ 
— f^2a.y — y2. Uebrigens scheint mir die einfache Bemerkung, 
daß sich die trigon. Linien desselben Winkels, in verschiedenen Krei 
sen, wie die Halbmesser verhalten, unmittelbar zum letzten Resul 
tate zu führen. ^