Transcendente f r u m m e L inie n. 
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substituirt man diesen Werth, so wie denjenigen von dy, in dem 
Ausdrucke des Krümmungshalbmessers (§. 81.), so findet man 
endlich, nach gehöriger Reduction: 
y =2 2 (ay-y- — 2 \ r 2 a y. 
Dieses Resultat zeigt, daß der Krümmungshalbmesser 3VT M' 
doppelt so groß ist als die Normale MQ, und daß er folglich 
nicht größer werden kann, als das Doppelte des Durchmessers 
des Erzeugungskreises, welcher Durchmesser bei dem der Abscisse 
A I einsprechenden Punkte der Cycloide, H, zu gleicher Zeit Or 
dinate und Normale ist. 
Die Ausdrücke von x — a und von y —/? geben hierauf: 
j — ß—2y r x — a = — 2} r 2ay — y-, 
woraus man schließt: 
y = — ß, x—a — 2} /0 '—2aß — ß 2 . 
Substituirt man diese Werthe in der ursprünglichen Gleichung der 
Cycloide, und reducirt, so erhält man: 
a = arc. (sin. vers.—— \ r —2aß — ß 2 f 
welches Resultat mit jener Gleichung viel Analogie hat. Die 
Wurzelgröße 1T—2 aß — ß 2 wird \ r 2 a y — y 2 ähnlich, wenn 
man 
ß==~~2a + ß' 
macht, was darauf hinausläuft, statt der stets negativen Ordinate 
EM', die auf eine, in der Distanz A'I — 2a, unterhalb der 
AB, befindliche Are A'B', bezogene Ordinate P'M' einzuführen. 
Durch diese Transformation erhält man 
a = arc. (sin. vers. = 2 a — ß' -\-] r 2 a ß'— ß' 2 ^ 
bemerkt man hierauf, daß zwei Bogen, deren vereinigte Sinus 
versus den Durchmesser ausmachen, Supplemente von einander 
sind, und bezeichnet den halben Umkreis durch it, so darf man 
schreiben 
a — TT— arc. (sin. vers. — ß') -\- ] r 2 aß’ — ß' 2 . 
Macht man endlich a—ji—a, d. h. führt man statt der Abscisse 
AE, die Abscisse A'P' = AI — AE ein, so erfolgt 
a — arc. (sin. vers. = ß') — ^2aß' — ß' 2 , 
welches die Gleichung einer neuen Cycloide ist, die zum Anfangs 
punkt den Punkt A' hat, und über der Are A'B', mit demselben 
Erzeugungskreise wie die erste, allein in einer der AB entge 
gengesetzten Richtung A'B', gebildet ist. 
Dieselbe Folgerung, in Bezug auf die Abgewickelte, läßt sich 
unmittelbar aus der Bestimmung des Krümmungshalbmessers her 
leiten. Verlängert man die Gerade GQ,. big sie der A'B' in Q'