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Transcendente krumme Linien. 
Verfährt man auf diese Weise bei der vorigen krummen Linie, 
so findet man einen zweiten Zweig Amx, der die in der Figur 
verzeichnete Form hat. 
^ Die oben betrachtete Spirale, welche die Archimedische 
Spirale genannt wird, ist nur ein besonderer Fall derjenigen 
krummen Linien, welche durch die Gleichung 
u = at n 
dargestellt werden, wo n einen beliebigen Exponenten bedeutet. 
So lange n eine positive Zahl ist, nehmen die durch die 
Gleichung u—at n gegebenen Spiralen ihren Anfang im Punkte 
A; allein wenn n negativ ist, so nimmt u, welches zuerst un« 
endlich groß ist, wenn der Bogen t=o, in dem Maaße ab, 
als jener Bogen zunimmt, und bei jeder neuen Umdrehung 
nähert sich der beschreibende Punkt immer mehr dem Punkte A, 
ohne diesen letzteren je erreichen zu können. 
Wenn n==— 1, so hat die krumme Linie, deren Gleichung 
alsdann: 
u= at“ 1 , oder ut — a 
ist, und welche die hyperbolische Spirale heißt, überdieß 
eine gerade Asymptote. Denn nimmt man nach und nach an:' 
t—1 —J- — 1 — 1 IC 
L j-, Ts, 3 1 "4“/ 
so zeigen die entsprechenden Werthe 
u — a, —2s, —3s, —4a, rc., 
daß die vom Punkte A sich immer mehr entfernende Spirale, 
Fig.3i.sich zu gleicher Zeit immer mehr einer Geraden OE, Fig. 31., 
nähert, welche in dem Abstande AD = a, parallel mit der Axe 
AO lauft; denn da die auf AU senkrecht stehende UM 
usinMAP = u sin t 
sin t -■» . 
— a—p, wenn man für u, at-* 
substituirt, zum Ausdruck hat, so hat sie offenbar » zur Gränze, 
wenn t— o; mithin hat auch die hyperbolische Spirale die Ge 
rade OL zur Gränze. 
Die negativen Werthe von t erzeugen einen zweiten Zweig, 
welcher sich über der Verlängerung AB' des Halbmessers AO 
befindet, und die Verlängerung OL' von DE zur Asymptote 
hat. Wenn man endlich der Constante a das Zeichen — gäbe, 
so würde man unterhalb B B' die krumme Linie zu wiederholen 
haben, die ich so eben oberhalb angegeben habe. 
Wenn man, anstatt des Abstandes AM Fig. 29., den Theil 
M N des Radius veetor, welcher sich dem Punkte M und dem 
Umfange des Kreises 06 0 befindet, für u nimmt, so ist die 
Gleichung