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Transcendente frumine Linien. 
147 
dt 
d y cos (t—m) — dx sin (t —- m) 
und setzt man 
nun für cos (t 
man 
m), »in (t — m) und u ihre Werthe, so findet 
xdy — y dx 
dt 
x ? -|-y 2 
Man kann demnach, aus der Gleichung in a und t, und aus 
deren Differential, die Größen u, cos t, sin t, du und dt weg» 
schaffen; und da beide Resultate alsdann nur noch t enthalten, so 
laßt sich dieses letztere durch die Elimination entfernen. 
Man habe z. B. die Gleichung 
N — »t h , 
welche gibt: 
u 
* — l 
a« t. 
- u n du = a B d t; 
n 1 
da die Ausdrücke von n, du und von dt vom Winkel m unab- 
hängig find, so erhält man, wenn man dieselben substituirt und 
AlleZ auf denselben Nenner bringt, 
¿(* 5 + y 2 ) sn (xdx-j-ydy): 
: a n (x dy*— jdx). 
Mit dieser Gleichung könnte man die Subtangenten, Tan 
genten rc. der Spiralen bestimmen, wenn man die Formeln des 
h. 66. benutzte. Allein da die Gleichungen jener krummen Linien 
zuerst in u und t ausgedrückt sind, so ist es einfacher und zugleich 
allgemeiner, die erwähnten Formeln, in Bezug auf eben jene 
Veränderlichen, umzuwandeln, welches wir nun vornehmen wollen. 
§. 123. 
Um jene Formeln zu erhalten, betrachtete man in der gegebe 
nen Gleichung zwischen x und y, die Veränderliche y als unmit 
telbar von der Veränderlichen x abhangend; allein da die krumme 
Linie gegenwärtig durch eine Gleichung zwischen den Polar-Coor- 
dinaten u und t gegeben ist, so ist die eine dieser letzten Veränder- 
*) Man findet den Ausschnitt d s (§. 120.) oft in rechtwinkligen Coor- 
dinaten ausgedrückt; es ist daher nützlich, diesen Ausdruck zu kennen. 
Man findet denselben, wenn man für d t und u? deren oben gefun 
dene Werthe substituirt, wodurch man erhalt: 
d« 
x d y — y d x