Transcendente fr um me Linien. 
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MF __ (1 -x (fl x 2 -J- d y 9 ) 
dxd*y-d yd 2 x' 
oder endlich, wenn man, für dx, dy, d 2 x und d 2 y, deren int 
vorhergehenden §. erhaltene Werthe substituirt: 
ME = — 
u (d u 2 -f- u 2 d t 2 ) 
u d 2 u — u 2 d t — 2 d u*‘ 
§. 128. 
Zur Anwendung dieser Formeln diene uns die logarirhmische 
Spirale, deren Glelchung 
t = 1 u 
ist. *) DifferentiirL man, so erfolgt 
dt = M^ (tz. 28.), oder 
udt 
d u 
M 
woraus hervorgeht (§. 119.), daß die Tangente, in allen Punkten 
dieser krummen Linie, denselben Winkel mit dem Radius vector 
macht. 
Differentiirt man von Neuem die Gleichung cl t = M —, 
indem man dt konstant annimmt, so erhält matt 
ud J u - du 2 — o, weßhalb 
du 2 t 
“5 
d u 2 
substituirt man diesen Werth von d 2 u, so wie den obigen von d t, 
in den Ausdrücken von y oder MF und von ME, so findet.man 
nl r i + M 2 
M F =r= 
M 
ME: 
:AM. 
Hieraus folgt, daß die auf den Radius vector AM senkrecht 
gezogene Gerade AF (Fig. 35.), der Normale MF, im Mittel-Fig. 35. 
*) Wenn man in dieser Gleichung r — o macht, so erfolgt u = l; mit 
hin geht die krumme Linie durch den Punkt 0 Fig. 34.; hierauf zei-Fig. 34. 
gen die, zugleich mit r, wachsenden Werthe von n, daß die krumme 
Linie außerhalb des Kreises O N G, eine unendliche Anzahl von Um 
drehungen macht. Die innern llmdrehungen werden durch die nega 
tiven Werthe der t hervorgebracht, welche für die u immer kleinere 
Werthe geben; es nähert sich demnach die krumme Linie immer mehr 
dem Pole A, ohne demselben je zu erreichen.