läO Veränderung der Veränderlichen.
tz. 132.
Die. Aenderung der unabhängigen Veränderlichen kann auch
geometrisch erklärt werden. Denn es ist klar, daß man, um
das in eine beliebige krumme Linie Ol einzuschreibende Poly-
Fig. 2. gon Fig. 2. naher zu bestimmen, über die Aufein
anderfolge der Winkel dieses Polygons ein bestimmtes Gesetz
aufstellen müsse. . Ich habe zuerst die Abscissen - Unterschiede
PP', P' P" ic. gleich angenommen; allein man kann dieses Ge
setz durch jedes andere ersetzen, man kann z. 23. annehmen, daß
die Seiten AI Ap, M' M", rc. gleich seyen.
Diese verschiedenen Annahmen betreffen im Grunde nur die
Darstellung, . und führen nur zu besondern Arten, die Diffe
rential-Coefficienten zu veranschaulichen; denn ob sich j wegen
der Aenderung andere, die x von freien Stücken erleidet, oder
wegen derjenigen, die eine andere Veränderliche t erleidet,
wovon x abhangt; darauf kommt es bei den Grenzen, die vom
den Werthen der Zuwachse unabhängig sind, keinesweges an;
auch kann man, wenn man eine Gleichung zwischen x und y
differentiirt, indem man zu gleicher Zeit dx und dy variiren
läßt, alsdann die Resultate vermittelst der Formeln des §. 129.
in Differential - Coefficienten verwandeln, weil, wenn man die
-Werthe der Differentiale der einen der Veränderlichen einführt,
alle diejenigen der andern von selbst verschwinden; man gelangt
hierdurch zu demselben Endresultate, als wenn man das eine
der ersten Differentiale als constant angenommen hätte; allein
die erhaltenen Formeln sind eleganter, weil die beiden Ver
änderlichen symmetrisch behandelt werden.*)
tz. 133.
Nach dem Vorhergehenden kann Man immer das System
zweier Gleichungen differentiiren, welche drei Veränderliche ent
halten, aus welchem System hervorgeht, daß man je zwei dieser
Veränderlichen als bestimmte Functionen der dritten ansehen
kann. Wenn
U — o, und V — o
zwei Gleichungen zwischen x, y und z bezeichnen, so nimmt
man deren aufeinander folgende Differentiale, indem man zu
gleicher Zeit die Differentiale derjenigen beiden Veränderlichen
variiren läßt, welche man als Functionen der dritten ansieht.
*) Man wird über diesen Gegenstand im Ersten Kapitel des „Traite du
Calcul differenticl et du Calcul inte'grai“ ziemlich wichtige De
tails finden, welche, so viel ich weiß, vor der Bekanntmachung jenes
Werks, nirgendwo mitgetheilt find.