Lacroix Diffrrent. 
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Gleichungen mit mehreren Veränderlichen. 161 
Endlich gibt die Gleichung (Y), wenn man sie differentiirt, indem 
man y und z als die einzigen Veränderlichen ansieht, 
d 2 u , o d2 u dz , d2u dz 2 du d 2 z 
dy 2 ^djdz dy ' dz 2 dy 2 *' dz d y 2 — ° ' 1 ' 
Da der Differential - Coefficienten der Function z, in der 
zweiten Ordnung, nur drei vorhanden sind, so werden sich diesel 
ben durch die drei Gleichungen bestimmen lassen, welche wir zuletzt 
erhalten haben. 
Man muß bemerken, daß, wenn man die Gleichung (XX) 
mit dx 2 , die Gleichung (XY) mit dxdy, *) und die Gleichung 
(YY) mit dy 2 multiplicirt, und die Produkte addirt, indem man 
das Aggregat 
^ äx 4- dy durch <1- (§. 41.) und 
j? dx “ + 2 ara y ixiy + iß d ’ z (§- 44 ) 
ersetzt, dieselbe Endformel zum Vorschein kommt, als wenn man 
die Gleichung 
du 
d x 
dx + ï7 dy + 
d u 
d z 
d z 
o 
differentiirt, indem man in ihr zugleich die Größen x, y, % und 
dz variiren laßt, und dx nebst dy als konstant ansieht, wodurch 
das zweite vollständige Differential von u, unter der Annahme, 
daß z Function von x und von y ist, erhalten wird. 
§. 138. 
Man kann diese Betrachtungen leicht auf jede beliebige Ord 
nung der Differentiation, oder auf jede beliebige Anzahl von Ver 
änderlichen ausdehnen; denn es kommt immer nur darauf an, zu 
bestimmen, welche Veränderlichen unabhängig seyn sollen, was 
nur aus der Natur der Aufgabe zu ersehen ist, die zu der gegebenen 
Gleichung oder zu den gegebenen Gleichungen geführt hat; hierauf 
differentiirt man in Bezug auf jede dieser letzten Veränderlichen 
insbesondere, indem man. die übrigen als Functionen derselben 
behandelt. 
*) Statt dxdy muß es heißen 2 dxdy; denn nur alsdann ergibt sich 
das gemeinschaftiiche Resultat: 
d 2 « , da« <> 2 » , du da u 
d x 2 + —- dy 2 ■+• -7— d z 2 4- —- d*z + 2 — dxdy 
' 2 d xd ’■ J 
dx 2 
+ 2 
da u 
d x d z 
d x d z 4* 2 
d z 2 
d u 2 
d y d : 
d i 
d y d z =s= o. 
B.