164 Gleichungen mit mehreren Veränderlichen. 
äs „.ydt . ä- dt 
Setzt man nun, für ~ und deren Werthe » und b, und 
eliminirt hierauf f' (t), so erhält man: 
dz dz 
b - a — = o. 
d x dy 
Diese Gleichung bietet ein Kennzeichen dar, um auszumitteln, 
ob eine gegebene Größe eine Function von ax-s-by ist, oder nicht. 
Denn, zufolge ihrer Entstehung, muß sie befriedigt oder identisch 
werden, so oft man in ihr, für und deren Werthe substb 
Wirt, .welche aus der Differentiation irgend einer Function von 
rix -j- by entspringen. Ich nehme z. B. an, man kenne den Ur 
sprung des Polynoms, 
a 2 x 2 -f- 2 a x b y + b 2 y 2 , 
nicht; setzt man dasselbe gleich z, und differentiirt, so findet man 
^ —2a 2 x-j-2aby, ^ —2ab x-j-2b 2 y; diese in die 
dx 
Gleichung, 
d z 
u i “ j —• u / 
dx dy 
gesetzten Werthe von ^ und von ~ machen dieselbe identisch; 
folglich schließt man hieraus, daß das durch z bezeichnete Polynom, 
eine Function von a x-s-b y ist, was übrigens dadurch bewährt 
wird, daß 
a 2 x 2 -f-2a bxy-}-b 2 y 2 = (a x-j-by) 2 . 
Man sieht im Allgemeinen, daß, wenn u — o eine Gleichung 
zwischen x, y, z und zwischen einer beliebigen durch f(t) bezeich 
neten Function ist, in welcher letzteren man nur den Bestand von 
t aus x, aus y und aus z kennt, vermittelst jener Gleichung und 
ihrer auf x und auf y bezüglichen Differentiale, die Größen f (t) 
und f' (t) immer eliminirt werden können. *) 
*) Wenn b = a, so wird s(ax + by) zu s[a(x + y)], mithin zu einer 
Function des Binoms x-py, und die Gleichung b ^ —a ^ = o 
o, welches der Ausdruck der charakte« 
verwandelt sich in 
dz dz 
dy 
Mischen Eigenschaft ist, die im §.19. benutzt wurde , f(x + y) zu ent 
wickeln. Man findet IN bcm „Traite etc.“ in 4to T. I. Kap. II. noch 
andere Beispiele der Anwendung der partiellen Differential - Gleichun-