Krumme Oberflächen.
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Geht man zu der zweiten Ordnung über, so wird die Anzahl
der Gleichungen größer, und es ist in vielen Fallen möglich, zwei
unbestimmte Functionen zu eliminiren; allein ich werde weder
Dieses umständlich, noch Etwas über die Gleichungen mit mehr
als drei Veränderlichen vortragen.
Anwendung der Differential - Rechnung auf die
Theorie der krummen Oberflächen.
tz. 141.
Da jede Gleichung zwischen drei Veränderlichen eine Oberfläche
vorstellt, so wählt man, zur Ordinate der Oberfläche, diejenige
Veränderliche, welche als durch die beiden andern bestimmt ange
sehen werden soll. Bezeichnen wir mit x, y und z, diese drei Ver
änderlichen , von denen wir in allein Folgenden voraussetzen, daß
sie auf drei aufeinander senkrecht stehende Aren bezogen werden, so
wollen wir z zur Ordinate und x nebst y zu Abseiften eines belie
bigen Punktes der Oberfläche annehmen, so daß z eine Function
von X und y seyn wird.
So wie die Linien durch die Bewegung eines Punktes, so
werden die Oberflächen durch die Bewegung von Linien erzeugt.
So sind z. B. die Cylinder und Kegel, womit man sich in der
Elementar-Geometrie beschäftigt, nur besondere Arten der beiden
Familien von Oberflächen, welche durch die Bewe
gung einer geraden Linie erzeugt werden, die sich
immer parallel bleibt, oder durch einen gegebenen
Punkt stets hindurchgeht. Um die Bewegung dieser Ge
raden zu lenken, können wir uns, statt der Kreislinie, die zu den
Cylindern und Kegeln führt, eben so wohl einer jeden andern
beliebigen und im Raume beliebig gelegenen krummen Linie bebte-
nen; allein es ist sehr merkwürdig, daß man, vermittelst der par
tiellen Differential-Gleichungen, von der Form jener krummen
Linie ganz absehen, und den gemeinschaftlichen Charakter aller
Oberflächen, die zu derselben Familie gehören, allgemein aus
drücken kann.
Denn nehmen wir zuerst an, daß alle erzeugenden Geraden
unter einander parallel seyn sollen, so müssen in ihre Gleichungen
y = ax + cf, y = bx+/? (Trig. rc. §. 181),
gen auf die Entwickelung von Functionen, und namentlich die Formel,
welche das Theorem von Lagrange heißt.