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Kruinme Oberflächen.
die Coefficienten a und b konstant seyn, und die Größen a und ß
zugleich variiren, so daß die eine von ihnen eine Function der an
dern ist; denn, wenn die erste von ihnen («) gegeben ist, so ist
die projicirende Ebene der ereugenden geraden Linie, die sich auf
die Ebene x y bezieht, auch gegeben; allein der Durchschnitt jener
projicirenden Ebene durch die"krumme Linie, welche die Bewegung
der erzeugenden geraden Linie leitet, bestimmt diese Letztere vol
lends, mithin auch ß. *) Man hat demnach
y —gX-s-tt, z = b x -J- cp (a),
wo (p eine Function ist, deren Form von den Gleichungen der
leitenden krummen Linie abhangt; allein, da die erste dieser Glei
chungen,
ci — y — a x,
gibt, so erfolgt daraus,
z — b x = (f) (jr — a x).
Macht man hier b = o, so erhält man
z = fp (y — a x ) /
welche Gleichung mit derjenigen des §. 140. zusammenfällt.
Eliminirt man in dem allgemeinen Falle cp, nachdem man,
d z = pdx -J- q d y,
gemacht hat, so erhalt man:
„p + aq = h“.
§. 142.
Wenn die erzeugenden Geraden alle durch denselben Punkt
gehen müssen, dessen Coordinaten a, ß, y seyn sollen, so werden
ihre Gleichungen jetzt folgende seyn:
j~~ß — a(x—ce), z — y=h(x — ce\
und NUN variiren zugleich die beiden (Koefficienten a, und b, so
bald die erzeugende Gerade ihre Lage ändert; man muß deßhalb
b — <p(a) setzen, welches gibt:
worauf die Elimination der Function zu folgendem Resultate führt:
— y = v (x — «) + q(y—ß)“.
*) Oder auch aus folgende Art. Es seyen j' = V'OO/ und z / = ?r
OO die Gleichungen der leitenden krummen Linie; setzt man x = x',
so muß auch }=)', z = z' und folglich ax' + B = i/'(s') und
bx / + /? = 7iOO seyn; mithin führt die Elimination von x', aus
den beiden letzten Gleichungen, auf eine Gleichung zwischen « nnd ß.