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Krumme Oberflächen.
hat (Trig. rc. §. 176.), eine Abhängigkeit unter die Coordinaten
x und y bringen; man darf alsdann nicht mehr die eine ohne
die andere variiren lassen, und z kann nur auf Eine Art varii-
ren: man muß nämlich alsdann das vollständige Differential
dz = pdx + qdy gebrauchen, indem man bemerkt, daß die
Gleichung der schneidenden Ebene,
äy — «clx,
gibt, wodurch man also erhält:
dz := (p + aq) dx.
Dieses Beispiel bietet die geometrische Erklärung desjenigen
dar, welches man in §. 46., rücksichtlich des Gebrauches der
vollständigen Differentiale, liest. Nimmt man nämlich eine
Abhängigkeit zwischen den beiden Veränderlichen x und y an,
so stellt man die Richtung fest, in welcher man von einem
Punkte der gegebenen Oberfläche zu einem andern übergeht;
denn wäre der Durchschnitt MN nicht durch eine auf xy senk
rechte Ebene gebildet worden, und hätte also eine krumme Linie
zu seiner Projection auf xy, so würde M'N' die Projektion
auf xy derjenigen Geraden seyn, welche den Durchschnitt MN
in M- berührte.
§. 146.
Die erste Bemerkung, die sich hier darbietet, besteht darin,
daß die Grenze des Verhältnisses
NN' —MM'
M 7 N 7 '
welche die trigonometrische Tangente desjenigen Winkels gibt,
den die, den durch die Ebene M'M N N' gebildeten Durchschnitt,
im Punkte M, berührende Gerade mit ihrer Projection M'N'
bildet (§. 58.), die Neigung jenes Durchschnittes gegen die
Ebene xy mißt, und folglich den Abfall der Oberfläche in
der Richtung MN anzeigt. Um aber jene Grenze zu erhalten,
müssen wir
NN' — MM' und M'N' = ^M' a7 a + N'm' 2
durch die entsprechenden Differentiale
dz = dx (p -j- tt q) Und Kd x 2 -}- d y 2
ersetzen, wodurch die gesuchte Grenze folgende wird:
P +
Kl + a 2
Dieses vorausgesetzt, kann gefragt werden, welches die Lage
der schneidenden Ebene M'M NN' seyn müsse, damit obcger