K r u m m e Obersläch e n. 
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Ausdruck, welcher zugleich mit dem Winkel N'M'm', bessert 
Tangente =a, variirt, ein Maximum werde. Um diese Auf 
gabe zu lösen, muß man jenen Ausdruck, in Bezug auf «, 
differentiiren, und das Resultat gleich Null setzen (§. 101.); 
man findet alsdann: 
q — p« 
(i + « 2 ) T 
und fetzt man, für tt, dessen Werth 
P a — o 
d J 
so entsteht die Diffe- 
rentialgleichnng 
,, q d x — p d j = o 
welche in Verbindung mit derjenigen der Oberfläche, 
62 — pdx -}- qdy, 
die Richtung bestimmen wird, in welcher die Punkte auf ein 
ander folgen müssen, wenn man vom Punkte M aus durch die 
am meisten gegen die Ebene xy geneigten Bogen nach dieser 
letzten Ebene hinuntersteigen will, — oder welche die Linie des 
größten Abfalls vom Punkte M nach der Ebene xy kennen 
lehrt. Diese Linie, welche im Allgemeinen krumm seyn wird, 
kommt oft in den Bau-Künsten vor. 
tz. 147. 
Kommen wir nun zu den Osculationen der Oberflachen. Es 
mögen zwei jdieser Letzteren durch einen und denselben Punkt 
gehen, dessen Coordinaten x, y, z seyen, und wenn sich x in 
x-j-ll so wie y in y + k verwandelt, so möge die Gleichung 
der ersten Oberflache, 
z + p li + q k -j- 4- (, r h 2 -j- 2 s h k -f- t k 2 ) + JC., 
und diejenige der zweiten, 
2 + Ph Qk-|~4-(Rh 2 -j-2Shk 4- Tk 2 ) -f-rc., 
geben. Alsdann wird der Abstand der beiden Oberflachen, im 
Sinne der Ordinate z, beim zweiten betrachteten Punkte, fol 
gender seyn: 
(p-P)h-Kq-Q)fc 
-f (r— R) h 2 + 2(s — S) hk + (t — T) k 2 } 
+ rc., 
welche Reihe man konvergent machen kann, wenn h und k sehr 
klein sind, und deren Werth stets abnehmen wird, wenn sie 
nach und nach die Glieder der ersten, der zweiten rc. Linie ver 
lieren soll. 
Stellt man hier ähnliche Betrachtungen an, wie in §. 75. 
über die krummen Linien, so überzeugt man sich bald, daß