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Krumme Oberflächen. 
eine dritte Oberfläche, bei welcher jene Glieder nicht verschwän 
den , in der nächsten Umgebung ihres gemeinschaftlichen Punktes, 
außerhalb jener beiden andern Oberflachen fallen würde. 
Hat man 
P — P = O, 1 — Y — o, 
so berühren sich die beiden ersten Oberflächen, und ihre Be 
rührung ist von der Ersten Ordnung. Die Berührung ist von 
der zweiten Ordnung, wenn man zu gleicher Zeit, 
r — R = o, s — 8 — 0, t — ï = o, 
hat, K. 
§• 148. 
Nimmt man nun an, die zweite Oberfläche enthalte eine 
gewisse Anzahl von unbestimmten Constanten, so kann man 
diese Letzteren dazu gebrauchen, die ersten Glieder des Abstandes 
der beiden Oberflächen verschwinden zu machen, und also die 
Berührung derselben von der höchsten möglichen Ordnung d. i. 
eine Osculation zu Wege zu bringen. 
Bezeichnet man die Coordinaten der zweiten Oberfläche mit 
x', j , z, so ist die Erste aufzustellende Bedingung diejenige, 
daß, nach der Verwandlung von x' in x, und von y' in y, 
in der Gleichung jener Oberfläche, die durch V' — o dargestellt 
werden soll, hieraus, 
z' = Z , 
hervorgehe, damit beide Oberflächen einen gemeinschaftlichen Punkt 
haben können. 
Vertauscht man hierauf die Buchstaben 
p, q, t , s, t, 2C., P, Q, R, 'S , T, 2C., 
mit den Differential - Coefficienten, die sie darstellen, so werden 
die im vorhergehenden § aufgestellten Bedingungen werden: 
dz' dz dz' dz 
dx' d x ' d y' d y ' 
wenn eine Berührung von der Ersten Ordnung Statt finden 
soll, und überdieß noch: 
d 2 z' d 2 z d 2 z' d 2 z d 2 z' d 2 z 
dx' 2 dx^' dx'dy' dx dy ^ dy 2 dy 2 ' 
wenn eine Berührung von der zweiten Ordnung Statt finden 
soll, rc. wodurch also verlangt wird, daß die partiellen Diffe 
rentiale der Gleichung V' —o, der Ersten, dann der zweiten rc. 
.Ordnung, befriedigt werden, wenn man x', y', z' und deren 
Differentiale, in x, y, z und deren Differentiale verwandelt. 
tz. 149. 
Wenden wir das Vorhergehende zunächst auf die Ebene an 
indem wir t fur V'=o, die Gleichung