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Beso n d e r e P u n k t c
Von den besondern Punkten der krummen Ober
flächen r und von den Maximis und Minimis der
Functionen von mehreren Veränderlichen.
^ tz. 153.
Die krummen Oberflächen bieten in ihrem Laufe nicht nur,
in begrenzter Anzahl vorhandene, und genau von einander unter
schiedene, besondere Punkte dar, sondern diese Punkte bilden
hier zuweilen stetige Folgen, die man besondere Linien nen-
jien könnte. Die einen wie die andern Punkte entsprechen be
sondern Werthen der Differential - Coefficienten der Ordinate der
Oberfläche, die denjenigen analog sind, die uns zur Bestimmung
der besondern Punkte der krummen Linien geführt haben. Allein
um einen Begriff von der Form einer Oberflache zu gewin
nen, reicht es nicht hin, einzelne Punkte derselben zu suchen;
sondern man muß, wie bei ihrer Construction, einen Inbegriff
von solchen Durchschnitten auffassen, die durch Ebenen oder Fla
chen gebildet werden, welche einem festen und bestimmten Gesetze
unterworfen sind.
? ■ So läßt sich erkennen, in welchem Punkte einer Oberfläche,
ihre Ordinate ein Maximum oder ein Minimum d. h. größer oder
kleiner ist, als alle diejenigen, welche, in jeder beliebigen Richtung
genommen, sie unmittelbar umgeben. Denn es muß alsdann,
m allen Durchschnitten, welche die verschiedenen durch jene Or
dinate gehenden Ebenen auf der gegebenen Oberflache bilden,
ein Maximum oder Minimum vorhanden seyn. Nimmt man
aber, für einen dieser Durchschnitte, die Gleichung
dy — cf fix
an, so wird der Ausdruck des Differential - Coefficienten der, als
Ordinate dieses Durchschnittes betrachteten 2, folgender seyn:
..... (§ .i46.),
' , rdx*-fdy* ri -}-« 2
der demnach, ohne Rücksicht auf die möglichen Werthe von «,
Null oder unendlich groß werden muß (§. 101.), wenn bei jeder
beliebigen Lage der durchschneidenden Ebene ein Maximum oder
Minimum vorhanden seyn soll.
Die Bedingungen des Ersten Falles werden also seyn:
P
d z
o, q = o, oder
d z
' dy
: O
ff