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Linien von doppelter Krümmnng uv
die beiden folgenden Punkte auch enthalte, so muffen ferner das
Erste und das zweite Differential ihrer Gleichung mit den ent
sprechenden der Gleichungen der gegebenen krummen Linie über
einstimmen.
Man könnte Eins der Differentiale dx, dy, oder dz als
konstant annehmen (§. 133.); allein das Resultat wird symme
trischer seyn, wenn man alle zugleich als Veränderliche behan
delt. Man erhalt alsdann,
dzrrAdx + Bdy, d 2 z = A d 2 x-j-B d 2 y,
woraus man zieht:
^ —dy d s z -f- d z d 2 y ^ —dz d 2 x + d x d*z
dxd 2 y— dyd 2 x' dxd 2 y — (1 j d 2 x ’
subtrahirt man hierauf die Gleichungen
z = A x B y -f- £),
z'^Ax'-f-By'-f D,
von einander, setzt für A und B die oben gefundenen Werthe,
schafft die Nenner weg, und bringt alle Glieder auf dieselbe
Seite, so erhält man folgende, ihrer Form wegen merkwürdige,
Gleichung der Krümmungs - Ebene:
,,(x' — x) (d y d 2 z — d z d 2 y) -j- (j — y) (d z d 2 x — dxd ! z)
_j_ ( z ' _ z) (dx d 2 y — dy d 2 x) = o
Substituirt man hierin, für zwei der Coordinaten x, y, z,
deren Werthe, wie sie aus den Gleichungen der gegebenen krum
men Linie hervorgehen, so erhält man die, von der bloßen dritten
Eoordinate abhängige, Gleichung der Krümmungs-Ebene.
Hier bietet sich eine Gelegenheit dar, dasjenige zu bestätigen,
was man am Ende des §. 132. liest; denn, wenn man zuerst y
und z als Functionen von x ansieht, dann
dy — pdx, d 2 y = qdx 2 , dz —j/dx, d 2 z — q' d x !
macht, und hierauf die drei Veränderlichen als Functionen einer
vierten t ansieht, so hat man, nach dem tz. 131.,
d a y = q d x 2 -{- p d 2 x, d 2 z — q' d x 2 -}- p' d 2 x,
welche Werthe in der Gleichung der Krümmungs-Ebene subfti-
ruirt, d 2 x verschwinden machen, und zu demselben Resultate
führen, als hätte man dx constant angenommeu.
tz. 160.
Man bemerke nebenbei, daß das Differential des Bogens
unserer krummen Linie durch
, ,jf d x 2 -j- d y 2 -f- dz 2 (<