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Linien von doppelter Krümmung rc.
Zenten gebildeten Oberfläche genannt wird. Dieses ist der ein
fachste Ursprung der im §. 143. angedeuteten abwickelbaren Ober
flächen.
Hat man die Gleichungen der gegebenen krummen Linie, so
läßt sich d:e Gleichung der durch ihre Tangenten gebildeten Ober
fläche leicht erhalten; denn, wenn man in den Gleichungen der
Tangente,
, d y
y — y = dx (x ~ x >
z '~ z = -¡^ ( x ' — x) (§.158.),
x, j, z tn a, ß, y verwandelt, um die den allgemeinen Cvor-
dinaten dieser^ Geraden beigegebenen Accente weglassen zu können,
und die Gleichungen der Projectionen der gegebenen krummen
Linie und ihre Differentiale durch
ß = ff(a), = </(ec), y=ifj(cf), = *//(«),
darstellt, so daß die Gleichungen der Tangente nun folgende
werden:
y — q>(a) = (p'(a) (x — a) .... (a),
z — */>(«)=*//(«) (x— cc) .... (b);
so hangt die besondere Lage der Tangente nur noch von dem
besondern Werthe der « ab. Eliminirt man also a, was immer
möglich ist, wenn die Functionen rp und ib bekannt sind, so wird
die End - Gleichung zwischen x, y und z den Inbegriff aller Tan
genten der gegebenen krummen Linie angehören, und wird folg
lich die Gleichung der von den Tangenten gebildeten Ober
fläche seyn.
Es ist einleuchtend, daß man vermittelst dieser Gleichung
erkennen kann, ob eine gegebene krumme Linie eben oder von
doppelter Krümmung ist. Denn, in dem ersten Falle, muß die
erwähnte Oberfläche, eben, und in dem andern, krumm seyn.
Wenn die Formen der Functionen cp und rp nicht gegeben
sind, so kann die Elimination nur durch die Differentiation be
wirkt werden, und man gelangt alsdann zum allgemeinen Kenn
zeichen der abwickelbaren Oberflächen. Man muß zuerst bemer
ken, daß aus der Gleichung (a), die eine Relation zwischen
x, v und a enthalt, hervorgeht, daß die letzte jener Größen eine
Function der beiden andern ist. Ich differentiire demnach unter
diesem Gesichtspunkte die Gleichungen (a) und (b) nach und nach
in Bezug auf x und auf y; der Abkürzung wegen, setze ich
d a . dtt
d * p d x -s- q d y, ^ — a,
