vInicii von doppelter KrüMMNItg re. 189 
so erfolgt, nach der Reduction: 
O — qf (a) -J- (x — «) a q” (er) 
1 — (x — et) et" ff" (et) 
p — lp' (tt) + ( x — Cf) «' ll" (et) 
q = ( x — et) ff" tp” (et) 5 
setzt man alsdann in den Werthen von p und von q diejenigen 
von (x —et) « und von (x — a) et", wie selbige aus den beiden 
ersten Gleichungen hervorgehen, so werden p und q bloß in et 
ausgedrückt seyn, vermittelst willkührlicher Functionen dieser Größe : 
man wird also haben 
P = n(q), 
wo n eine von cp und von ip abhängige Function bedeutet, die 
nicht minder willkührlich ist als diese Letzteren. 
Macht man jetzt, wie im §. 151., 
dp = rdx + sdy, dq=sdx + tdy, 
und differentiirt die Gleichung P — n (q) nach und nach in Bezug 
aus x und auf y, so erhalt man: 
r — (q) s / s = 7i (q) t; 
und eliminirt man die Function ri, so erhält man endlich die par 
tielle Differential - Gleichung der zweiten Ordnung 
rt — s 2 = o, oder 
cl 2 z d-z / d 2 z Y tt 
” dx 2 d y 2 \dxd y/ ° 
welche das von Euler entdeckte allgemeine Kennzeichen der ab 
wickelbaren Oberflachen enthält. 
Man muß zunächst bemerken, daß die Gleichung (f) des §.152. 
aus den Ersten Grad heruntergeht, wenn man in ihr rt — s a = o 
macht , woraus hervorgeht, daß die abwickelbaren Oberflächen nur 
eine einzige Krümmung haben, und daß, genau genommen, einer 
der beiden Werthe von d in diesem Falle unendlich groß wird. 
Die Krümmuns-Linie, welche sich auf diesen Werth bezieht, ist 
just eine der erzeugenden Tangenten, diejenige nämlich, welche 
durch den fraglichen Punkt geht. 
Die berührende Ebene, in diesem Punkte, geht durch eben 
jene Gerade hindurch, auf deren sämmtliche Punkte sich die Be 
rührung zwischen cher Ebene und der gegebenen Oberfläche er 
streckt, welches leicht daraus zu ersehen ist, daß jene Ebene 
nichts anders ist, als die Grenze der durch zwei aufeinander 
folgende Tangenten gelegten Ebenen. 
Diese besondere Eigenschaft der abwickelbaren Oberflächen, 
welche daraus folgt, daß sie aus geraden Linien bestehen, welche 
sich, je zwei, einander schneiden, unterscheidet dieselben von allen: