Linien von doppelter Krümmnng rc. Ä91
sn , und läßt die Accente weg, so werden die Gleichungen (1)
und (2) folgende werden:
x — « + [ y — ff («) ] rp' («) + [ z — \p («) j xp' (a) = o... (!'),
[ v — ff (ß) ] ff” {ft) + [ Z — Xp (ß) ] Xp'\ct) ) _ (( y. ,
-i->(ß)2-^(ß)- i *" c 7
da die zweite das Differential der ersten in Bezug auf ß ist,
so geht daraus hervor, daß man die erste in Bezug auf x und ^
differentiiren kann, ohne a variiren zu lassen, weil die aus dieser
Function entstehenden Glieder vermöge der zweiten Gleichung ver
schwinden würden. Die erste wird also bloß geben:
1 -j- P ip' (ß) = o, ff' (ß) -j- q xp' (ß) — o,
woraus, wie im angezogenen §., geschlossen werden muß:
v — ^(q)-*)
§. 163.
Wir sind gegenwärtig im Stande, die Krümmungen oder
Flexionen einer Linie von doppelter Krümmung zu bestimmen.
*) Verwandelt man, in der Gleichung (1'), x in z, y in x, z in y,
und macht
a + (f («) (f 1 («) + ip (er) xp* («) = in,
so kann man setzen:
(^) — (f> (in) , xp’ («) = — i / / (m), ■
und es erfolgt:
z — m = x (m) -f" y x l ! (rn) .... (1/0/
— 1 = x >/-’ (m) + y ¥" (m) .... (2").
Diese Gleichungen, welche von derjenigen der Ebene, z = Ax + By
+ m, herrühren, in welcher man zwei der Constantcn zu Functionen
der dritten gemacht hat, gehören der Folge von Durchschnitten einer
Ebene an, welche einer Bewegung im Raume von beliebiger Art
unterworfen ist; dieses ist der kürzeste Ausdruck der Bildung der ab
wickelbaren Oberflächen.
Fügt man zu den Gleichungen (1/0 und (2") das Differential der
zweiten, welches bloß in Bezug auf m genommen wird, um zu dem,
zweien auf einander folgenden Durchschnitten der erzeugenden Ebenen/
gemeinschaftlichen Punkte überzugehen, so erhalt man für diesen Punkt,
0 = 1 </>"(m) + y ¥'"(m) . .. . . (3");
und wenn man in zwischen den Gleichungen (1"), (2^) und (ß /r )
eliminirt, so erhalt man die Rückkehr-Kante der abwickelbaren Ober
fläche 0. 161).
Die Familie der abwickelbaren Oberflächen enthalt nicht alle Obe»
flachen, welche durch die Bewegung einer Geraden erzeugt werden;
eS gibt überdies' d i e w i n d sch i e fe n O b erfl a ch e n; siehe hierüber
das „Train* etc.) in 4i 0 , B. I. S. 606. und B. UI. S.666