Linien von doppelter Krümmnng rc. Ä91 
sn , und läßt die Accente weg, so werden die Gleichungen (1) 
und (2) folgende werden: 
x — « + [ y — ff («) ] rp' («) + [ z — \p («) j xp' (a) = o... (!'), 
[ v — ff (ß) ] ff” {ft) + [ Z — Xp (ß) ] Xp'\ct) ) _ (( y. , 
-i->(ß)2-^(ß)- i *" c 7 
da die zweite das Differential der ersten in Bezug auf ß ist, 
so geht daraus hervor, daß man die erste in Bezug auf x und ^ 
differentiiren kann, ohne a variiren zu lassen, weil die aus dieser 
Function entstehenden Glieder vermöge der zweiten Gleichung ver 
schwinden würden. Die erste wird also bloß geben: 
1 -j- P ip' (ß) = o, ff' (ß) -j- q xp' (ß) — o, 
woraus, wie im angezogenen §., geschlossen werden muß: 
v — ^(q)-*) 
§. 163. 
Wir sind gegenwärtig im Stande, die Krümmungen oder 
Flexionen einer Linie von doppelter Krümmung zu bestimmen. 
*) Verwandelt man, in der Gleichung (1'), x in z, y in x, z in y, 
und macht 
a + (f («) (f 1 («) + ip (er) xp* («) = in, 
so kann man setzen: 
(^) — (f> (in) , xp’ («) = — i / / (m), ■ 
und es erfolgt: 
z — m = x (m) -f" y x l ! (rn) .... (1/0/ 
— 1 = x >/-’ (m) + y ¥" (m) .... (2"). 
Diese Gleichungen, welche von derjenigen der Ebene, z = Ax + By 
+ m, herrühren, in welcher man zwei der Constantcn zu Functionen 
der dritten gemacht hat, gehören der Folge von Durchschnitten einer 
Ebene an, welche einer Bewegung im Raume von beliebiger Art 
unterworfen ist; dieses ist der kürzeste Ausdruck der Bildung der ab 
wickelbaren Oberflächen. 
Fügt man zu den Gleichungen (1/0 und (2") das Differential der 
zweiten, welches bloß in Bezug auf m genommen wird, um zu dem, 
zweien auf einander folgenden Durchschnitten der erzeugenden Ebenen/ 
gemeinschaftlichen Punkte überzugehen, so erhalt man für diesen Punkt, 
0 = 1 </>"(m) + y ¥'"(m) . .. . . (3"); 
und wenn man in zwischen den Gleichungen (1"), (2^) und (ß /r ) 
eliminirt, so erhalt man die Rückkehr-Kante der abwickelbaren Ober 
fläche 0. 161). 
Die Familie der abwickelbaren Oberflächen enthalt nicht alle Obe» 
flachen, welche durch die Bewegung einer Geraden erzeugt werden; 
eS gibt überdies' d i e w i n d sch i e fe n O b erfl a ch e n; siehe hierüber 
das „Train* etc.) in 4i 0 , B. I. S. 606. und B. UI. S.666