Linien von doppelter Krümm ung rc. 
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Hierauf überzeugt man sich bald, daß 
Xdx -j- Ydy -j- Zdz = o, 
und wenn man das Quadrat dieses Ausdrucks dem Ersten Factor 
des Zählers von u 2 hinzugefügt, so wird man erhalten: 
(X- -i- Y 2 -f Z 2 ) d S 6 
D* ' 
Entwickelt man den Werth von D, so findet man, daß derselbe 
sich auf X 2 -[-Y 2 + Z 2 zurückführen laßt: man erhält demnach 
zum End-Resultat: 
d s 6 
,]2 — (I 
" ~ X 2 + Y- + Z 2 * 
Da der Durchschnitt der beiden aufeinander folgenden Nor 
mal-Ebenen auf der Ebene desjenigen Kreises, der durch drei 
aufeinander folgende Punkte der krummen Linie geht, senkrecht 
steht, so ist er die Are dieser Kreis-Ebene, und jeder seiner 
Punkte kann dazu dienen jenen Kreis zu beschreiben, indem man 
die Distanz jedes Punktes von denen des Kreisumfangs zum 
Halbmesser wählt; allein unter allen diesen Halbmessern zeichnet 
man denjenigen, welcher in der Kreis-Ebene selbst liegt, und 
welchen wir oben gesunden haben, dadurch aus, daß man ihn 
den absoluten Krümmungs -Halbmesser nennt. 
Die Werthe von x', y' und z' werden die Lage des Krüm 
mungs-Mittelpunktes bestimmen; und eliminirt man x, y und z, 
so erhält man die Gleichung der von allen solchen Mittelpunkten 
gebildeten krummen Linie; allein diese letztere krumme Linie ist 
nicht die Abgewickelte der gegebenen, wenn diese gegebene nicht 
eben ist.*) 
Da. die vorhergehende Formel, in einem besondern Falle, 
bie Krümmung des Durchschnittes einer Oberfläche und einer 
beliebigen Ebene darbietet,, so schließt sie sich an dasjenige an, 
was §. 151. über die Krümmung der Oberflächen vorgebracht 
wurde. Ich will mich aber hier auf den Fall beschränken, wo 
die schneidende Ebene durch die Normale der gegebenen Ober 
fläche hindurchgeht; zur Ebene xy wähle ich die berührende 
Ebene, und zum Anfangspunkt der Coordinaten den Punkt, 
wo die Krümmung gesucht wird. Durch diese Annahme wird, 
d z = o, und auch d 2 y = o, weil wegen des Senkrechtstehens 
der schneidenden auf der berührenden Ebene, der Durchschnitt 
der ersten und' der Oberfläche sich in gerader Linie auf der zwei 
ten projicirt. Macht man hierauf dx conftant, so erfolgt daraus, 
*) Siehe B. I. S. 625. und 630. des „Traiu? etc.“ in 4to. 
Lakroix Different. 13