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Linien von doppelter Krümmung rc. 
Z = o , Y = — dxd 2 z, X = d y d a z , d s* = d x 2 -J- d y 2 f 
_ (dx 2 + dy«) a # 
d 2 z 2 ' 
allein wenn man allgemein annimmt, 
d z = pdx -f- q d y , 
so folgt daraus, bei der gegenwärtigen Annahme, 
d 2 z — d (pdx -J- qdy) = dpdx + dqdy, 
oder, nach der Bezeichnung des §. 151, wo dy = mdx, 
d 2 z = (r-j-2sin-|-tm 2 ) dx 8 ; 
und hieraus ergiebt sich: 
1 -f- m a 
u = —f- 
r + 2sm -j- tm 2 
Dieser von m abhängige Ausdruck ändert seinen Werth, zu 
gleich mit der Richtung der schneidenden Ebene, und kann dem 
nach eines Maximum oder Minimum fähig seyn. Setzt man 
sein auf m bezogenes Differential gleich Null, so findet man 
(r -s- 2 s m -}- t m 2 ) in — (1 -s- m 2 ) (s -}- t m) = o, 
welches sich auf, 
s in 2 —J— (r — t) m — s = o, 
zurückführen läßt; folglich sind die Werthe von m hier dieselben 
wie im §. 151. Ueberdieß würde die Elimination von m zu 
derselben Gleichung zwischen x, u, r, s und t führen, die die 
Gleichung (f) des §. 152. darböte, wenn man in ihr p = o, 
q — o und d == u machte, weshalb also die beiden Werthe 
von 6 den durchschneidenden Normal - Ebenen der größten und 
der kleinsten Krümmung angehören. 
§. 164. 
Die zweite Krümmung, oder die zweite Flexion der nicht 
ebenen krummen Linien, ist die Krümmung der von ihren Tan 
genten gebildeten abwickelbaren Oberflächen, die durch die zwischen 
den Krümmungs-Ebenen befindlichen Winkel eben so angedeutet 
wird,. wie die Erste Flexion durch die zwischen den Tangenten 
befindlichen Winkel. Da aber die Geraden, welche die Durch 
schnitte der Normal-Ebenen sind, auf den Krümmungs - Ebenen 
senkrecht stehen, so bilden sie denselben Winkel miteinander, wie 
diese Letzteren; überdieß sind sie auch, weil sie durch ihr Zu 
sammentreffen die Rückkehr-Kante der Oberfläche der Normal- 
Ebenen bilden, die Tangenten dieser Kante, welche demnach die 
selben Winkel miteinander bilden, wie die entsprechenden Krüm 
mungs-Ebenen; folglich ist die zweite Flexion der gege 
benen krnmmen Linie gleich der Ersten Flexion der