190
Note (A)
über die Grenz en-Methode.
Q:
Rücksicht auf die einzelnen Methoden, welche zusammen genommen
die Differential-Rechnung ausmachen, ist diese Letztere leichter als die
höhern Theile der Algebra; ihre Schwierigkeit besteht höchstens nur darin,
Anfangs wohl einzusehen, welches ihr Zweck ist, und den Sinn einiger
deshalb nothwendig einzuführender neuen Ausdrücke genau aufzufassen.
So wie ein geometrisches Problem (dasjenige von Pappus), welches
von den Alten nur für einige besondere Falle aufgelöst worden war,
Descartes veranlaßte, die analytische Geometrie, d. i. die Anwendung der
Algebra ans die Darstellung der krummen Linien zu erfinden; eben so ver
anlaßte ein anderes Problem (dasjenige der Tangenten) die Erfindung
der Differential - Rechnung.
Seit den Zeiten Euclids konnte man bemerken, daß die Eigenschaften
der Secanten auch den Tangenten zukommen, wofern sie so modisicirt
werden, wie es die Vereinigung der beiden Durchschnittspunktc in einen
einzigen, der alsdann zum Berührüngspunkte wird, erforderte (Siehe
meine „Siemens de Ge'ome'trie“ §. 128). Auf diesem Principe beruhen
applicite oder implicite alle auf Rechnung gegründete Methoden, Tangen
ten an krumme Linien zu ziehen. Unter diesen Methoden wählte ich die
von Barro w hervor, welche noch nicht Differential-Rechnung ist,
derselben aber am nächsten kommt.
Man habe z.B. eine durch die Gleichung y J =px dargestellte gemeine
Fig. 1. Parabel. Nimmt man auf dieser krummen Linie Fig. 1. die beiden Punkte
M und M', um durch sie eine Secante zu ziehen, setzt
AP — x, PP' = h, A'P' = x + h,
PM = y, M'Q=k, P'M'=:y + k,
und vergleicht die Dreiecke M'QM und NP6, welche ähnlich seyn wer
den, so erhält man,
M'Q;MQ=:rM;PS,
woraus hervorgeht:
Da der Punkt M' auch der krummen Linie angehört, so hat man auch,
(y + k) 2 ----- p (x + h);
entwickelt man diese Gleichung, und zieht hierauf die Gleichung y 2 = p x
von ihr ab, so erfolgt,