202 
N o t e 
Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, daß, bei einer beliebi 
gen krummen Linie, die Grenze des Verhältnisses des 
Bogens 'zu seiner Chorde die Einheit ist; denn nimmt 
Fig. 66. man zu beiden Seiten des Punktes A Fig. 66. immer kleinere Chorden 
AB — AG , AB' = AC', rc., zieht die Geraden BL, B'6', rc., und 
fallt auf diese Geraden die Perpendikel AD, AD', rc., so geben die 
rechtwinkligen Dreiecke BAD, B'AD', rc. 
BC B D . j _ . _ B' G' 
: sui 4- B A C, ■ 
B' D' 
' Iß 
sich immer mehr 
, B'AL', rc; 
einem 
Aß+AC AB 2 'AB' + AC' 
allein da die -Winkel 4- B A C, ^ B'AL', rc. 
Rechten nähern, so nähern sich ihre Sinus immer mehr der Einheit. Es 
hat also dieselbe Bewandtnis mit den Verhältnissen der gebrochenen Linien 
zu den Geraden, welche ihre Endpunkte verbinden, welche verglichenen 
Linien sich immer mehr einem Bogen und seiner Chorde nähern. 
Es ist wohl zu merken, daß, bei der Abnahme eines Bogens und 
seiner Chorde, deren Verhältniß, nicht bloß deshalb sich der Einheit nähert, 
weil ihr Unterschied alsdann immer geringer wird. So ändern z. B. die 
Seiten eines geradlinigten Dreiecks ihr Verhältniß zu einander gar nicht, 
wie sehr man sie auch abnehmen lasse, wofern die neuen Dreiecke dem 
Ersten ähnlich bleiben; und gleichwohl nehmen die Unterschiede der Seiten 
in demselben Verhältnisse ab, wie die Seiten selbst. Anders verhält es 
sich bei den Bogen; sie werden mehr abgeplattet, weil der eingeschriebene 
Winkel sich desto mehr öffnet, je mehr sie abnehmen, und ihr Ucberschuß 
über ihre Chorden nimmt in schnellerem Maße ab, als diese Letzteren. 
Vergleicht man nämlich zwei Größen A und a, welche unbestimmt ab 
nehmen , und setzt A — a + d 1 , so sieht man bald, daß das Verhältniß 
— = c —-—= l + - sich nur in so fern ohne Unterlaß der Einheit nähern 
kann, als ck in schnellerem Maße abnimmt als a. 
An die vorhergehenden Betrachtungen über die in die Abschnitte der 
krummen Linien eingeschriebenen Winkel, läßt sich die dem Verhältnisse 
der Ordinate zur Subtangente zukommende Eigenschaft anknüpfen, daß es 
die Grenze des Verhältnisses des Zuwachses der Ordinate zu dem der Ab- 
Fig. 67. sciffe ist. Denn drei Punkte M, M, M', Fig. 67., auf einer beliebigen 
krummen Linie, bestimmen die beiden Verhältnisse^-^ undb, welche 
Kt, Q, MQ, 
respcctivc den Tangenten der von den Chorden M,M und MM' mit der 
Are der Abscissen P, P' gebildeten Winkel M M, Q, und M' M Q gleich 
sind; und bezeichnet man diese Winkel mit A und B, so erhält man 
M Q, M'Q 
M, Q, M Q 
Dieses vorausgesetzt, weiß man, daß 
^ * T.-N tan*» A — lan 
taug (_A — B) 
laug A — tang B, 
B 
1 -f taug A laug B 
(Trig. rc. §.27.), 
woraus folgt: 
lang A — la ns 
B = (l + tang A lang B) (laug A — lang ß) ;