24 Wiederholte Differentiationen.
welche die Entwickelung von k(x) nach steigenden Potenzen
von x ausdrückt.
Macht man u — (a+x) n , woraus zunächst folgt:
ck u , . . d 2 u , ,
+ — = n(n — l)(a + x)“-*, 2C.,
die (u mitgerechnet), wenn x—o, übergehen in:
U — a“, U 7 = na n — 1 , U" 2 =n (n — 1) a n - 2 2c.,
so erhält man wiederum:
n ( a- t- x ) n== a n -f-^a n — X x ~2~^ an “ 2 x 2 -f* rc." *)
§. 23.
Der Taylorsche Lehrsatz gibt auch die Entwickelung des neuen
Zustandes einer beliebigen Function n — f(x), wenn in dersel
ben x in x-j-K übergeht. Denn verwandelt man (in §. 20.) y in
h, so erhält man:
*) H. Peacock hat die Bemerkung gemacht, daß die obige Entwickelung
von f(x) irriger Weise dem Englischen Geometer Mac-Laurin zuge
schrieben werde, da sie schon 1717 von seinem Landsmann Stirling
(S. desien „ lineae tertü ordinis Newtonianae“, Prop. III.) ge
funden worden. Der von Stirling selbst gegebene Beweis weicht von
dem Folgenden nur in der Bezeichnung ab. Es sey
u = A + B x + C x2 + D x3 + E x 4 + rc.,
rei) A, B, C, D, E rc. constante und unbestimmte Coefficienten sind;
geht man zu den Differential - Coefficienten über,
= B + 2 Cx + 3 Dx 2 4* 4 E x3 + rc.,
d x
d2 u
—== 2C+2.3DX + 3.4Ex2+ rc.,
cU u
1.2.3D+2.3.4Ex+ K.,
rc., und macht in ihnen, so wie in u, x = o, indem man
die Werthe, welche die Function und ihre Differential - Coefficienten,
in ihrer nicht entwickelten Form, alsdann annehmen, mit II, ü', U",
ü'" rc. bezeichnet, so erhält man
A = U, B=iü', C = ^ü", rc.,
und folglich: