Transcendente Functionen.
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Macht man x=o, so gehen u und ihre Differential - Coefficien-
ten über in
11 = 1, U'=k, U"=k*, u /// =k s , rc.;
folglich erhält man nach tz. 22.
kx k^x^ k'x^
aX “ 1 + T~ + 1.2 + 1.2.3 + K *
§. 26.
Die eben gefundene Entwickelung von a x wird uns zur Kennt
niß derjenigen Größe führen, wovon die durch k vorgestellte Reihe
die Entwickelung ist.
Macht man nämlich x =so erhalt man
a lc = l +
1 ' 1.2 ' 1.2.3
+ rc.,
und bezeichnet man den Zahlwerth der zweiten Seite mit e, wo
demnach, wenn man bei dem 12ten Gliede stehen bleibt,
e=2,7182818,
so erhalt man die Gleichung
X
a k =e, woraus folgt
a = e k ; nimmt man nun von jeder Seite
den Logarithmen, so erhält man
k 16 = 1 a, oder endlich
1 a
k=
16'
Folglich hat man nun auch (§. 24.)
,, d.a x = j-^a x dx“ *).
le '
*) Obschon das obige, von Lagrange angegebene, Verfahren, um zu
diesem Resultate zu gelangen, zierlich und einfach ist; so hat es den
noch einigen Geometern deßhalb mangelhaft geschienen, weil die zuerst
für k angegebene Reihe (§. 24.) nur dann konvergent ist, wenn a sich
wenig von der Einheit unterscheidet. Allein abgesehen davon, daß
diese erste Entwickelung nur dazu dient, die Form des gesuchten Diffe
rentials zu erhalten, kann man immerhin von einer Erponentialgröße
ausgehn, deren Basis der Einheit sehr nahe ist. Man braucht deß
halb nur
a in a
:(r-) HlX = -