Transcendente Functionen. 
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macht man x—o, so erfolgt 17—1 und 
U'==o, U"=—1, U"'=o, U"”—i, rc., 
welches geben wird 
4 X? , X * 
n cosx — 1 ^ 2*1 2 3 4 
Diese beiden Formeln, deren Gesetz sehr klar und sehr einfach 
ist, bieten eine der genauesten und kürzesten Methoden dar, den, 
einem gegebenen Bogen, entsprechenden Sinus oder. Cosinus zu 
berechnen, besonders wenn der Bogen nicht sehr groß ist. Es las 
sen sich analoge Formeln für die Tangente und die übrigen trigono 
metrischen Linien auffinden; allein das Gesetz dieser letzteren For 
meln ist minder einfach, als dasjenige jener obigen, und ihre An 
wendung gewährt weit weniger Bequemlichkeiten, als die Rela 
tionen, welche die Tangente, Secante rc., vermittelst des Sinus 
und Cosinus, bestimmen. Ich will daher nicht bei ihnen verwei 
len, und nur noch bemerken, daß die ersteren, welche späterhin 
immer convergent werden mästen (tz. 27.), sich auch auf Bogen be 
ziehen lassen, welche den Umkreis übertreffen. 
§. 38. 
Man könnte auf demselben Wege, wie oben, die Entwickelung 
des Bogens durch seinen Sinus oder durch seine Tangente, erhal 
ten; allein da sich hier die Ausdrücke der aufeinander folgenden 
Differential - (Koefficienten immer mehr verwickeln, weßhalb ihr Zu 
sammenhang schwer sichtbar ist, so wollen wir folgendes Verfah 
ren anwenden, welches von diesem Uebelstande frei ist. 
Da der Differential-Coefficient des Bogens, wenn man den 
Letzteren als Function seines Sinus ansieht, folgender ist 
ckx 
d u 
= (1 —u 2 ) ^ (§. 36.), 
so kann man ihn nach der Formel des Binoms (§. 21.) in eine 
Reihe entwickeln; und nimmt man mit den Zahl- Koefficienten 
keine Reductionen vor, so findet man 
Da diese Entwickelung nur gerade Potenzen von u enthält, so 
folgt daraus, daß diejenige von x nur ungerade enthalten kann, 
und daß man folglich annehmen müsse 
X— Au-j-Bu 3 -f-Cu s -{-Du 7 -{- K.f 
wo deßhalb kein von u unabhängiges Glied vorkommt, damit der 
Bogen x verschwinde, wenn u—o. Differentiirt man jetzt, so 
erhält man