: A -jr 3 B ii 2 -J“ 5 C u 4 -f- y D u® -J- ic. ,
und vergleicht man dieses Resultat mit der ersten Reihe, so fin
det man
A=l, 3B = ^, 5C;
1.3 /yT _ 1.3.5
2.4' 7 “2.4.6' lc *'
woraus folgt
u 1 u 3 1 3 u s 1 3 5 u 7
,, x= j -p ^ —‘"2*4 5*'^'2*4*6 T—>
Da man nicht annehmen darf u>l, so sieht man, daß diese
Reihe keinen den Viertelkreis übertreffenden Werth von x geben
könne; weßhalb dieser Ausdruck des Bogens durch seinen Sinus
minder allgemein ist, als es die obigen Ausdrücke des Sinus und
des Cosinus durch den zugehörigen Bogen sind.
Um einen Bogen durch seine Tangente auszudrücken, ent
wickele man zuerst
dx 1 ; = (! + «>)- (§.36.),
welches gibt
dx
= 1 — u 2 + u 4 — u 6 + ic.;
und nimmt man an, es sey
x=Au-(-Bu 3 + Cu s + Du 7 -f ic.',
woraus hervorgeht
=A-f-3Bu 2 -J-5Cu 4 +7D u 6 + ic.,
so erfolgt
XI 3 u s u 7 ,
■3 + T~7 + 1C -'
Diese letzte Entwickelung gibt einen merkwürdigen Ausdruck
für den Bogen o^,5 (ein halber Quadrant), dessen Tangente be
kanntlich der Einheit gleich ist; denn setzt man u=l, so erfolgt
ic.
Diese Reihe ist zu wenig convergent, um bei der Berechnung
angewandt zu werden. Allein man kann denselben Bogen in meh
rere Theile zerlegen, deren jeder eine Tangente hat, die kleiner ist
als 1, und sich demnach durch eine sehr convergente Reihe wird
ausdrücken lassen. Der Englische Geometer Machin fand, daß
der Bogen o c i, 5 gleich ist, dem Vierfachen des Bogens, welcher
{ zur Tangente hat, vermindert um denjenigen Bogen, welcher