Gleichungen mit zwei Veränderlichen.
Von der Differentiation beliebiger Gleichungen
von zwei Veränderlichen.
tz. 48.
Bisher habe ich nur gesonderte Gleichungen differentiirt, d. h.
nur solche, worin sich die Veränderliche auf der einen, und die
Function auf der andern Seite, allein befand, wie z. B. Glei
chungen von der Form Y = X, wenn Y eine Function von y, und
X eine von x ist. Allein die meisten Gleichungen, worauf analy
tische Untersuchungen führen, bieten sich nicht unter dieser Gestalt
dar; sondern die Veränderliche und die Function von derselben
sind untereinander vermischt oder verknüpft.
Wenn man zwischen x und y eine beliebige Gleichung 5 (x^ y)
= o hat, so bezweckt dieselbe x durch y oder y durch x zu bestim
men, so daß die eine dieser Größen eine Function der andern ist;
und verwandelt man x in x-j-ll und y in y-j-K, so muß man
auch noch haben
f (x + h, y -{- k) = o, mithin auch die Gleichung
£(x + h, y -j- k) — £(x,y) = o, welche sich nach
§. 41., wenn man £(x, y) durch u vorstellt, in folgender Form
entwickeln läßt:
Dieses vorausgeschickt, besteht das Aussuchen des Differential-
Coefficienten von y, in dem der Grenze des Verhältnisses ^; al
lein wenn man in der letzten Gleichung k—macht, so wer
den ihre sämmtlichen Glieder durch h theilbar, und nimmt man
hierauf — o an, um zur verlangten Grenze zu gelangen, so geht
sie in folgende über
dy
dx
d 2 u
dx 2
1.1, E, -j—- = 1.2, F rc., und
dy 2
der -Werth von A folgt aus dem von u, wenn sowohl x als y in die
ser Function selbst gleich Null gesetzt werden.