Gleichungen mit zwei Verändert ch e n. 61
tz. 52.
Es ist leicht, das Vorhergehende auf Beispiele anzuwenden, die
zusammengesetzter sind, oder in denen die Veränderlichen in einem
noch hohem Grade vorkommen. Es sey noch folgende Gleichung
gegeben
y 3 — 3axy-|-x 3 = o»
hier gibt die Differentiation
3 y 2 d y — 3 a x d y — 3 a y d x -f- 3 x 2 d x =: o,
oder, nach Weglassung des gemeinschaftlichen Theilers 3,
y 2 dy—axdy — aydx-|-x 2 dx = o . . . (1)
woraus folgt
dy ay — x 2
dx y 2 — ax*
Da die Function y, in diesem Beispiel, durch eine Gleichung
vom dritten Grade gegeben ist, so muß sie drei Werthe haben,
und substituirt man dieselben nacheinander in dem Ausdrucke von
d y
so wird man eben so viele Werthe für den Differential-Coef-
sicienten erhalten. Man sieht allgemein, daß dieser Coefficient
immer eben so viele Werthe haben wird, als deren die Function y
vermöge der gegebenen Gleichung zuläßt: ganz eben so verhält es
sich mit dem Differential.
Eliminirte man y zwischen den beiden Gleichungen
y 3 — 3axy-J-x 3 = o,
y 2 dy — axdy — aydx-fx 2 dx = o . . . (1),
so erhielte man zum Resultat eine Gleichung vom dritten Grad in
Bezug auf d y, welche die drei Werthe in sich faßte, die diesem
Differentiale zukommen können. *)
*) Zu Gunsten einiger Leser mögen die drei vorzüglichsten Eliminations-
Methoden auf obiges Beispiel hier angewendet werden.
y 3 — 3 a x, y + x 3 = o
, dx , „dx
y~ — a -=—. y+x 2 ai=o,
J d y d y
y 3 + Qy + R = o, Q = — 3ax, R. = x^,
y 2 + P / y + Q / =o, P' =
dx dx
a-7—, Q , ==x 2
ax.
dy' x dy
Methode der Symmetrischen Functionen.
Es seyen a, ß die Wurzeln von y^d-P'y-f o, und S t :
c'.+ß, S 2 — « 2 + ß 2 rc.