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Gleichungen mit zwei Veränderlichen.
y 2 = ax-j-b, so würde das Differential
2ydy=adx, welches von b unabhän
gig ist, zu allen besondern Gleichungen gehören, die aus der ersten
hervorgehen, wenn b alle möglichen Werthe annimmt.
Allein man kann in dem gegenwärtigen Falle auch zu einer
von ch unabhängigen Gleichung gelangen, obschon diese Constants
beim Differentiiren nicht verschwand: man braucht deßhalb nur a
zwischen den beiden Gleichungen
y 2 = a x -|- b
2ydy=adx, zu eliminiren, wodurch
man findet
y 2 d x = 2 x y d y —J— b d x.
Obschon diese letztere Gleichung nicht das unmittelbare Diffe
rential der gegebenen ist, so entspringt sie dennoch in so weit aus
ihr, daß sie, nachdem vorher durch dx dividirt worden, die Re
lation ausdrückt, welche zwischen der Veränderlichen x, der Func
tion y und dem Koefficienten bei jedem beliebigen Werthe von
a, Statt findet.
Wenn die Constante, welche man eliminirt, nicht vom Ersten
Grad in der gegebenen Gleichung ist, so wird das erhaltene Resul
tat Potenzen von dy und dx enthalten, welche die Erste über
steigen. *) Es sey z. B.
y 2 — 2 a y -j- x 2 = a 2
Differentiirt man, so findet man:
y d y — adj-j-xdx = o, woraus:
Q __J d y+ xdx
** J /
d J
und substituirt man in der gegebenen Gleichung, so erhält man,
wenn man nach dy geordnet und durch dx 2 dividirt hat,
d v 2 d v
< xS - 2 ^>di- 4x ydi- x2=o:
dieses ist die Relation, welche zwischen der Veränderlichen x, der
*) Dieser Satz ist, wo nicht irrig, doch wenigstens ungenau, wovon
man sich etwa durch die Gleichungen y 2 — 2a 2 y •+ , x 2 = o, y 2 —
2a 2 y + x 2 = a 2 , y 2 — 2a3y4-x 2 = 0, y 2 — 2a3y + x 2 = a3 rc.
überzeugen kann, bei denen die Resultate der Elimination dy und
dx nur in der Ersten Potenz enthalten werden. Man möge daher
den Vordersatz mit solgendem vertauschen: „Wenn die zu eliminirende
„Constante in verschiedenen Graden in der gegebenen Gleichung vor-
„ kommt. “ B.