wornach man die Koefficienten A, B, C, V rc. wie gewöhnlich
bestimmen kann.
Es sey noch folgendes Beispiel aufgestellt:
sin (a-J-bx + cx 2 -j- d X 3 -f- rc.)
= A-j-Bx -j- C x 2 -j- Dx 3 -f- E x 4 + zc.;
macht man zur Abkürzung
a b x -J- c x 3 + d x 3 -j- rc. — u,
^c-j-Bx-f-Ex 2 -f- Dx 3 -j-rc. — y,
so erfolgt daraus j= sinn, und wenn man differentiirt,
so erhält man dy — d u cos u.
Man könnte vermittelst der Gleichung cos u = T1 — sin. u 2 ,
welche gibt cosu = IT 1 — y 2 , cos u eliminiren, wodurch man
erhielte dy — du "Tl — y 2 ; allein man müßte in dieser Glei
chung noch das Wurzelzeichen wegschaffen. Um diesem Uebel
stande auszuweichen, differentiirt man von Neuem die Gleichung
dy — du cos u, indem man bemerkt, daß u, nicht
weniger als y, eine Function von x ist; man erhält dadurch
d 2 y=d 2 u cosu — du 2 sinu,
und setzt man für sin u und 003 u ihre Werthe, so erfolgt
du d 2 y — dy d 2 u -J- J du 3 = o.
Man hat nun nur noch für J, dy, d 2 y, du, d 2 u und du*
ihre Werthe zu substituiren; allein
y=A -|— B x -}- C x 2 -j- D x 3 -|— 2C. gibt:
dy = (B-j-2Cx-f 3Dx 2 -|-rc.) dX,
d 2 y — (2C-|-2.3Dx-|-zc.) dx 2 ;
und um mich nicht in zu weitläufige Rechnungen einzulassen, will
ich die Function auf «In (a-s-bx-s-cx 2 ) beschränken, indem ich
d, e, rc. gleich Null annehme: in diesem besondern Falle ist
du — (b-j-2cx)dx
d 2 u—2cdx 2
du 3 — (b 3 -{-6b 2 c x —|— 125 c 2 x 2 -f-8o 3 x 3 ) dx 3 .
Vermittelst dieser Werthe, wird die Gleichung
du d 2 y — dy d 2 u-j-ydu 3 — o
durch dx 3 theilbar, und wenn man sie in Bezug auf x ordnet, so
nimmt sie folgende Gestaltan: