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Krumme Linien.
Statt finden: für die Erste und zweite Gleichung wird dieser
Theiler, (x —a) 11 - 1 seyn.
Man wird bald einsehen können, daß die Gleichungen ^ =o,
d 8 V
j- = o, rc. just dieselben sind, die man in dem §. 205. der
„Elémens ¿’Algèbre“ mit A=o, B = o, rc. bezeichnet hat.
Diese Betrachtungen lassen sich leicht auf den Fall übertragen,
wo die gegebene Gleichung mehrere Arten von gleichen Wurzeln
hat, das ist, die Form hat
X(x— a) n (x — b) p = o;
denn differentiirt man die Erste Seite nach der Regel des §. 11.,
so findet man
n X (x — a) n—1 (x — b) p -J- p X (x •— a) n (x-b)P' 1 j
■^äl^“ a)n(x “ b ^ P j
welche Größe ebenfalls verschwindet, wenn man x—a oder x=b
macht, und deren gemeinschaftlicher Theiler mit der Ersten Seite
der gegebenen Gleichung, offenbar ist
(x — a) n ~~ x (x—b) p—I .
Man kann eben so verfahren, welches auch die Anzahl der
Factoren (x — a) n , (x — b) p , (x —c) q , rc. seyn mag, und
man wird immerhin finden, daß der, den Functionen
¿V
Vund gemeinschaftliche, Theiler alle gleiche
Wurzel - Factoren der Gleichung V —o, in einer
um eine Einheit niedrigern Potenz enthält, als
sie in der Gleichung selbst enthalten sind.
Anwendung der Differential-Rechnung auf die
Theorie der krummen Linien.
Die geometrischen Betrachtungen beweisen sehr einleuchtend,
daß das Verhältniß, zwischen den Zuwachsen einer Function und
denen ihrer Veränderlichen, im Allgemeinen eine Grenze zuläßt.
Jede Function einer einzigen Veränderlichen
kann durch die Ordinate einer krummen Linie dar
gestellt werden, deren Abscisse jene Veränderliche
ist (Trigon, et Application de l’Algèbre à la
Géométrie §. 86.); und das Verhältniß der Ordi
nate zur Subtangente entspricht dem Differential-