Genäherte Werthe.
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>^=c+ x ì-®o
a=x x»
rcck
dx 2 1.2.3
es ist auch hier C die willkührliche Constante.
Die Integration durch Theile führt ebenfalls zu der letzten
Entwickelung. Denn zerfällt man das Differential Xdx in die
beiden Factoren X und dx, und integrirt den zweiten, so erhält
man zuerst: /Xdx — Xx—/xdX, und hierauf:
- , v /-dx , 1 . dx 1 r. d 2 X
xdX = / --—
dx
dx
d-X
d 2 X
dx 2
d-X
xdx = i X 2 ^
2 dx
d 2 X
— r / X
.x 2 dx = :
dx 2
d-X
/x 3 p= //^.x 3 dx=*x* s*
J dx 2 d X- 4 d X- by
dx *
d-X
dx 2 '
d»X
dx»'
d 2 X
2c.; fetzt man nach und nach für /xdX, /x 2 , rc. ihre Werthe,
so erfolgt:
/Xdx —X^
dX
+
d-X
rc.,
dx 1.2 ' dx 2 1.2.3
und damit der Ausdruck des Integrals vollständig wird, muß
dieser Entwickelung noch eine Constante hinzugefügt werden, wo
durch sie mit der vorhergehenden zusammenfällt. Es wurde diese
Reihe zuerst von Johann Bernoulli angegeben, und sie führt
feinen Namen, wie die Reihe des §. 20. denjenigen von Taylor
führt. '
§. 241.
Bis hieher habe ich nur den Differential - Coefficienten von
der ersten Ordnung betrachtet; allein wenn man nur diejenigen
von der zweiten Ordnung kennte, so wären zwei auf einander
folgende Integrationen nöthig, um zur ursprünglichen Function
aufzusteigen, woraus derselbe abgeleitet wurde.
Es sei X der Differentiale Coefsicient von der zweiten Ord
nung der Function y, so daß man hat:
-?=x-
multiplicirt man beide Glieder dieser Gleichung, mit dx, so erfolgt:
d 2 y d 2 y , dy
— Xdx; allein ~ ist das Differential von-^, wenn man
dy
dx als conftant ansieht. Man erhalt also: y- —/Xdx. Bedeutet
r die ursprüngliche Function von x, welche/Xdx gleich ist, und