y—sssXfo* =P Xdx*.
Nicht anders verhält es sich bei den höhern Ordnungen.
tz. 242.
Man kann die vorhergehenden Ausdrücke vermittelst der In»
tegration durch Theile auf einfache Integrale zurückführen. Denn
setzt man in
Xdx 2
P, statt /Xdx, so erhalt man: s 2 Xdx 2 — /dx/Xdx = /Pdx
= Px — /xclP — X/Xdx —/Xxdx.
Benutzt man, um
/ 3 Xdx 3
zu bestimmen, den so eben gefundnen Werth für/Xdx* so findet
man zunächst / 3 Xdx 3 —/dx/Xdx 2 —/xdx/Xdx — /dx/Xxdx;
bemerkt man hierauf, daßyxdx/Xdx — ^x 2 /Xdx— 4/Xx 2 dx
und /dx/Xxdx == x/Xxdx —yXx 2 dx, so erfolgt: / 3 Xdx 3 — i
(x 2 /Xdx — 2x /Xxdx -j- /Xx 2 dx).
Fahrt man auf ähnliche Weise fort, so läßt sich folgende Tabelle
bilden:
/Xdx —/Xdx,
/Xdx 2 = j [x/Xdx—/Xxdx],
/^Xdx 3 = ~- r> [x 2 /Xdx— 2x/Xxdx-J-/Xx 2 dx],
/ 4 Xdx 4 — -—^[x 3 /Xdx—3x 2 /Xxdx-j- 3x/Xx 2 dx— /Xx 3 dx],
:c.
Die numerischen Coefsicienten dieser Ausdrücke sind einerlei mit
denjenigen der Potenzen des Binoms a — h, und während der
Exponent von x, außerhalb des Zeichens /, mit jedem Gliede
um eine Einheit abnimmt, wenn man von der Linken zur Rech
ten fortschreitet, nimmt der Exponent von x, unter jenem Zei-^
chen, um dieselbe Größe zu.
Man kann die in jenen Formeln ausgelassenen willkührlichen
Constanten wieder herstellen, wenn man
für /Xdx .../Xdx -f C
s /Xxdx . . . /Xxdx -j- C'
s /Xx 2 dx . . ,/Xx 2 dx+C"
rc.
substituirt; denn da die Constanten C, C', C" rc. verschiedene Po
tenzen von x begleiten, so lassen sie sich nicht mit einander ver
binden.