Quadrirte krumme Linien. 
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Es haben die einfachste Gleichung die Parabeln der 
vermiedenen Ordnungen, indem für diese Statt findet: 
Zieht man hieraus j=p n x ll =X, so erfolgt: 
1 m 
„/Xdx=/p" x n dx — 
np 11 
— L ,— x 
m -j- n 
11 -f-const/* 
Alle diese krummen Linien sind quadrirbar, wie man sieht, 
d. h. man hat einen endlichen und algebraischen Ausdruck für 
die Fläche des von ihrem Bogen, der Achse der Abscissen und 
der Ordinate eingeschlossenen Abschnittes. Vermittelst dieses Aus 
druckes für einen Abschnitt ist es leicht, jeden andern Flachenraum 
zu berechnen, der von einem Theile der krummen Linie und 
von geraden Linien eingeschlossen wird, welche mit den Abscissen 
und Ordinären Polygone bilden, deren Maß die Elementär- 
Geometrie finden lehrt; es werden weiter unten Beispiele hierüber 
vorkommen (§§. 252— 255.) 
Da die vorgegebenen krummen Linien durch den Anfangspunkt 
der Eoordinaten gehen, weil man zu gleicher Zeit x— o und 
j — o hat, so muß man, wenn ihr Inhalt mit jenem Punkte 
anheben soll, die willkürliche Constante auslassen, weil der Aus 
druck -^7—x u von selbst verschwindet, wenn darin x = o 
in-f-n 
gemacht wird. Um hierauf den zwischen den Ordinaten DE und 
PM, welche den Abscissen AB = a und AP = x entsprechen, ent 
haltenen Flächenraum zu erhalten, reicht es hin, von dem Inhalte 
-- m-f-n “ ro+n 
-^7—x 11 des Raumes ACMP den Inhalt —a u des 
m -j- n m + n 
Raumes AGB hinwegzunehmen, wodurch man erhält: 
m-4-n 
BCMP: 
n p 
m -}- n 
Wenn der Exponent » gerade ist, so läßt der Ausdruck 
n 
X n das Doppelzeichen ± zu, und da alsdann dieselben 
mss-n 
Abscissen AP zwei Zweigen ACM und Acm angehören, so hat 
man zwei Abschnitte ACMP und AcmP, wenn derjenige, welcher 
die positiven Ordinaten hat, einen positiven, und der andere 
einen negativen Werth hat.