Quadrirte krumme Linien.
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BCxAB= AB —4s- (Trig. rc. §. 164). Man hat demnach
p —4 a', und hebt man bei den Flächenräumen mit der Ordinate
BL an, die dem Scheitel L entspricht, so erhält man: BGYIP —
AB
^-a^i.AP — 4a 2 .i.AB = 4-a 2 i.~. Nimmt man AB zur
Einheit an, so erfolgt, wegen l.i — o,
PCMP=1. AP.
Eben so wird man haben BGIVTP' = l. AP', BCM"P" — 1.AP"ic.,
woraus hervorgeht, daß wenn die Abscissen AP, AP', AP", re
in geometrischer Progression folgen, die entsprechenden Räume
BCkP, BGM'P', BGJVTP", rc. eine arithmetische Progression
bilden.
§. 247. '
Die eben betrachtete Hyperbel, welche gleichseitig war, gab
nur Nepersche Logarithmen; allein ändert man den Asymptoten
winkel, und nimmt immerhin AB — i an, so kann man eine
unendliche Anzahl anderer Logarithmen-Sysieme erhalten. Es sey
UMV, Fig. 46., eine beliebige Hyperbel; zieht man die Ordina-Fig. 46.
ten PM parallel mit der Asymptote AY, so läßt sich auf analoge
Weise, wie im §. 65., beweisen, daß das Parallelogramm PMB.P'
das Differential von BCMP ist. Zieht man aber P'Q senkrecht
auf PM, so findet man P'Q — PP'. sin P'PQ — PP'. sin XAY,
und bezeichnet man den Asymptotenwinkel mit co, so erhält man
P'Q = clx sin 0) und mithin PMRP'=ydx sin (O. Setzt man
1 dx
für y seinen Werth -, so folgt daraus — sin w zum Differential
des Raumes BCMP, woraus hervorgeht:
BGMP —Ix —1.AP, wofern sin co der Modulus ist <,§. 28.)
Da der Modulus der gemeinen Logarithmen 0,4342945 ist
(§. 30.), so hat man sin co — 0,4342945. Folglich ist der
Asymptotenwinkel derjenigen Hyperbel, deren Räume die gemei
nen Logarithmen geben, gleich o c i,2860i.
§. 248.
Die Quadratur der gemeinen Hyperbel bietet von der analy
tischen Seite eine Merkwürdigkeit dar, welche nicht unbemerkt
bleiben darf. Diese besteht darin, daß die asymptotischen Räume
yApm Fig. 45., welche den negativen Abscissen entsprechen, nicht Fig. 45.
in derselben Formel liegen, worin die den positiven Abscissen
entsprechenden Räume enthalten sind. Denn die Funktion ix,
welche den Raum YAPM (§. 246.) ausdrückt, wird nicht nur
