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Qnñdrirte krumme Linien. 
Dieses Integral kann durch Logarithmen ausgedrückt werden 
(§. 183.), oder in eine Reihe entwickelt werden; allein anstatt mich 
auf diese Rechnung einzulassen, will ich mich mit den ellipti 
schen und hyperbolischen Ausschnitten beschäftigen, deren Diffe 
rential-Ausdrücke oft vorkommen. 
§. 252. 
Es sei ABab eine Ellipse, deren halbe große AchseAC = a 
und halbe kleine Achse BC == b. Macht man CP = x, so 
erfolgt: PM=y=^'K"a a —x 2 . Da der Ausschnitt ACM— 
CMP-f-AMP, wie offenbar ist, so ist auch dACM = dCMP 
4-dAMP. Allein, mit CMP = * CPXPM = ~ — 
1 2 2 a 
so ist dCMP == ^ ^ ^da 2 —x 2 — ' x ; ferner ist 
dAMP= — ^dxTa 2 -^, wo das Zeichen— deßhalb steht, 
weil der Raum AMP abnimmt, wenn x zunimmt. Folglich ist: 
ci ACM — 
1 b a 2 dx 
2 a j^a 2 — x 2 
Macht man- —1, so verwandelt sich der elliptische Ausschnitt 
ACM in den Ausschnitt ACA, welcher dem über der großen Achse 
Aa, als Durchmesser, beschriebenen Kreise AEae angehört. Man 
hat demnach jetzt d ACA = 
i 2 dx 
2 j^a 2 —: 
a. 
—adx 
a 2 — x z ' 
allein da 7 das Differential des Bogens AA ist; so er- 
V a 2 — x 2 
. 1 
halt man, wie in der Elementar-Geometrie, ACA — - a x 
AN — i AC X AA; und weil die Ausschnitte ACA und ACM 
ihren gemeinschaftlichen Ursprung beim Punkte A haben, so 
schließt man (wie in §. 250.), daß der elliptische Ausschnitt 
ACM == - ACA —-BC.AA. 
a 2 
§. 253. 
Es sei XÄx eine Hyperbel, mit denselben Achsen, wie die 
obige Ellipse ABab, und ihre Gleichung: y=-i^x 2 --a 2 . Hier