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Quadrirte krumme Linien.
stellt es den Abschnitt Imn dar, welcher, so wie der Abschnitt
ACQM, zugleich mit y verschwindet. Folglich ist ACQM=Im n.
Beim Punkte K, wo y = 2&, wird der AbschnittACK gleich
dem Halbkreise ImKI. Endlich leuchtet es ein, daß der Raum
KMQ^ACK — ACQM = Kmn. Da das RechteckAK, IK
zur Höhe und AI —ImK Zur Grundlinie hat, so ist es das
Vierfache des Halbkreises ImKI. Zieht man von diesem Recht
ecke den Raum AGK = ImKI ab, so erhält man zum Reste
den Raum AMKI = 3 mal ImKI. Hieraus folgt, daß der
zwischen einem Zweige der Cycloide und ihrer Achse befindliche
RaumAKLA, das Dreifache des erzeugenden Kreises ist.
§. 258.
Nun habe ich noch von den Spiralen zu handeln. Ich
will mich zuerst mit denjenigen beschäftigen, welche durch die
Gleichung u = at n (§. 117.) vorgestellt werden, in welcher r dem
;.sr.Bogen ON, Fig. 51., und u, AM gleich ist. Da wir hier
mit Polar-Coordinate!: zu thun haben, so ist das Differential
des Inhalts (§• 120.); setzt man demnach für v. seinen
Werth und integrirt, so findet sich der Inhalt —
a3£2n-f 1
-—¡—-4- const.
4n -p 2
Ist n positiv, so muß man die Constants vernachlässigen, wenn
die Räume bei der Linie AO anheben, bei welcher t=o; man
a 2 t 2n+t
hat alsdann ACM == -—— r . Nach einer Umdrehung des Ra-
4n-{-;
dius Vector, findet sich der Raum ACMK —
n den halben Umfang des Kreises ON bedeutet.
* z {2ny n+l
4n-J-2
wenn
In der Archimedischen Spirale ist 3 — — und n
mithin ACM
ihm t
24 re 2 '
2n macht, erfolgt:
1 (§.117.),
aus welchem Resultate, wenn man in
ACME = -
ft
3'
d. h. ---- des Kreises ON, weil die hier vorkommenden Einheiten
quadratische sind und der Inhalt dieses Kreises u (l) 2
Bei der zweiten Umdrehung geht der Radius Veetor über
den Raum hin, den er bei der ersten beschrieb, und eben so ver
hält es sich bei jeder neuen Umdrehung, so daß diese Räume