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Rectiflcirte krumme Linien. 
L.- 
Vs« 
§. 260. 
Ich wähle zum ersten Beispiele die Parabeln der verschiede 
nen Ordnungen, welche durch die Gleichung y = px n dargestellt 
werden, wenn n eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl ist. 
Da hier dy — npx 11-l dx, und \ dx 2 +dy 2 r=dx/ l+n 2 p^x 2ll ~ 2 : 
so wird der parabolische Bogen ausgedrückt durch 
/(1 -j-n 2 p 2 x 2n “ 2 ) 1 dx. 
Dieses Integral wird sich unter einer endlichen und alge 
braischen Form darstellen lassen, wenn der Exponent 2n — 2 der 
Einheit gleich oder in ihr ein genaues Mal enthalten seyn wird 
(§. 192.) 
Es sei zunächst 2n — 2 = 1. Alsdann ist n=|, 
/'(l4-n 2 p 2 x in -dx: 8 
3 
( 9 \T 
l-4--p 2 x) + const.. 
-r 4 i J t , 
. 3 
und d:e. gegebene krumme Linie hat zur Gleichung y = px^ oder 
y 2 = p 2 x 3 , d. h. sie ist eine Parabel von der dritten Ordnung, 
welche die Abgewickelte der gewöhnlichen Parabel ist (tz. 81.) 
Läßt man die Bogen bei demjenigen Punkte anheben, wo x=o: 
so wird obiger Ausdruck, 
-4 
1 
Ist —— ) = i, wofern i eine ganze Zahl bedeutet, so findet 
2i-4-1 
man n = —j mithin bietet die Gleichung y 2 !=p 2 ^4-i eine 
2i 
unendliche Anzahl rectisicirbarer Parabeln dar. Was alle übri 
gen Parabeln betrifft, so lassen sich deren Bogen nur näherungs 
weise bestimmen. 
t 
Bei der gemeinen Parabel, wo n=2, hat mmt/dx(i-i-4p 2 x 2 ) T 
zu finden. Da die Formel (B) des §. 195., 
/dx (l+4p 2 x 2 ) T =4. x (l-f4p 2 x 2 ) T + 
giebt, und nach §. 184. 
s- dx 
J r 
2p 
1 (2px -s- Yl-|-4p 2 x. 2 Z- const.. 
Y l+4p 2 S 
so erfolgt: 
/dx(l-|-4p I x 2 ) T = 4x(l-|-4p i x 2 ) r -f'X“ 1 ( 2 P x +^ l+4p 2 x 2 )4-const 
Dreses ist der Werth eines beliebigen Bogens der gemeinen