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NectifrcirLe krumme Linien. 
§. 263. 
Das Differential des Bogens einer Ellipse kann auch sehr- 
einfach vermittelst desjenigen Bogens ausgedrückt werden, welcher 
dem elliptischen Bogen in dem über der großen Achse als Durch- 
Fig.47. meffer beschriebenen Kreise entspricht. Es sei EN — cp, Fig. 47., 
so hat man CP — X = sin cp, und -^=JL==== dm. Folglich ist. 
F i —x 2 
d. BM = d(fj Y 1 — e 2 sin (p 2 . 
§. 264. 
Wählt man bei der Hyperbel ihre Gleichung .... 
d 2 
y a — — (x 2 — a 2 ), so erhalt man zum Differential ihres Bogens 
<dxY(a 2 + b 2 ) x 2 
-j-t s 
n 
Macht man a — i und a 2 -f-t 2 = i 
e 2 , so erhält der Bogen zum Ausdrucke, 
dx T^e 3 x 2 — 1 
J 
n 
welches Integral, wenn e der Einheit sehr nahe ist, durch ein 
Verfahren, welches demjenigen des §.206. analog ist, in eine 
Reihe entwickelt werden kann. 
§. 265. 
Ich habe nun noch Anwendungen auf transcendente krumme 
Linien zu machen: 
Da die Cycloide zur Gleichung hat: tlx—— 
F 2ay 
(§. 114.), so zieht man daraus: Y dx 2 -|-dy 2 
dyFj2f 
v , mit- 
7 2a — y 
hin erfolgt, durch die Integration, für den Bogen der Ausdruck 
— 2 Y2a (2a — y) -J- const. 
Es ist einleuchtend, daß Y2a (2a—y) der Ausdruck der Chorde 
Fig. 50. mH, Fig. 50., des erzeugenden Kreises ist: und da der verän 
derliche Theil des Integrals beim Punkte K, wo j — 2a, ver 
schwindet, so muß er den Bogen MK ausdrücken; folglich hat 
man: 
MK = 2f 2a (2a—y) = 2mil. 
Wenn y—o, so wird dieser Bogen .AK—2TK, welches Resultat