Integration vollständiger Differentiale. 121
gen Functionen beziehen sich bloß, wie in §.272., auf den Fall,
daß die Integrale zwischen Grenzen genommen werden, in Rück
sicht auf welche die Veränderlichen x, y und z unabhängig von
einander sind. Am häufigsten aber muß das auf z beziehliche In
tegral von z = F (x, y) biöz = f(x, y), wo F und k gegebene
Functionen bedeuten, das auf y beziehliche, von y = Fj (x) bis
y=f 1 (x), und endlich das auf x beziehliche, von x —u bis
x—a', genommen werden.
Von der Integration der vollständigen Differen
tiale, welche mehre unabhängige Veränderlichen
enthalten.
§. 278.
Die Functionen von mehren unabhängigen Veränderlichen
haben zweierlei Arten von Differentialen, nämlich partielle und
vollständige Differentiale (§.46.). Wir haben schon in den
§§. 271. 277. gesehen, wie man von einem durch die unabhän
gigen Veränderlichen ausgedrückten partiellen Differentiale einer
Function zu dieser Function zurücksteigen kann. Diese Aufgabe
läßt sich immer auflösen, weil sie sich unmittelbar auf die Inte
grationen von Differentialen mit einer einzigen Veränderlichen zu
rückführen läßt. Nicht eben so verhält es sich, wenn man einen
willkührlich gewählten Ausdruck von der Form
Mdx + Ndy
als vollständiges Differential einer Function von zwei Veränder-
d^u d 2 u
lichen ansieht, weil die Gleichung —(§- 40.) eine
Relation zwischen den Größen M und N nothwendig macht, ohne
welche diese nicht von derselben ursprünglichen Function zweier
Veränderlichen herrühren können.
Denn setzt man:
du — Mdx Ndy
so folgt daraus:
du du ^ d 2 u dM d 3 u dN
dx ' dy ' dydx dy ' dxdy Ax "
und folglich:
dM__dN ftf
99 dy dx
Es muß also jeder Ausdruck Mdx-f Ndy, wenn er ein voll
ständiges Differential einer Function von den Veränderlichen