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Integration vollständiger Differentiale. 
X und y seyn soll, die letzte Gleichung identisch machen: um 
alsdann zu seinem Integral u aufzusteigen, hat ^man nur 
(tu -, du _ 
M= —, Nz=-j- aufzustellen, woraus man den Werth der 
partiellen Differentiale ableitet. 
Nimmt man z. B. das partielle Differential in Bezug auf x, 
so erhält man: 
du . ^, 
— dx = Mdx. 
dx ' 
und folglich: 
u-^/Mdx-s-Y. 
Man fügt in diesem Falle, wie in demjenigen von §. 271. eine 
beliebige Function von y hinzu, weil die Integration sich nur 
auf die Veränderliche x bezog; allein hier wird diese Function 
dadurch bestimmt, daß der Werth von u auch noch der Gleichung 
•KT du . _ 
N = dy 9 enu 9 ett uruß. 
Die Gleichung u=/Mdx + Y giebt. 
du_d/Mdx dY t 
dy“ dy dy’ 
bezeichnet man /Mdx durch v, so erhält man: 
dy dy ' dy ' 
woraus man zieht: 
N — 
dY 
dy ‘ 
X =A 
dv 
dy' 
N 
dv 
dy 
) àj, 
so daß man endlich zum Integrale der gegebenen Function erhalt: 
„U=/Mdx+/(n- dv 
dy 
) dj if » 
dv 
Dieses Resultat zeigt, daß die Function N — nur die eine 
Veränderliche y enthalten darf, weil im entgegengesetzten Falle 
die Voraussetzung nicht bestehen würde, daß Mdx und Ndy die 
partiellen Differentiale einer und derselben Function u wären. 
, d v 
Es folgt hieraus, daß die Function N — , weil sie x nicht 
enthält, keine Aenderung erleidet, wenn x variirt, und daß also 
dN d 2 v 
dx docdy 5