Integration vollständiger Differentiale.
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allein man hat:
d*v
d 2 v
d —
dx ^ dv
dxdy
dydx
dy UNd ^
folglich erhält man:
d 2 v
dM,
dxdy
dy
und zuletzt:
dM
dM
dy "
dx'
Diese letzte schon oben gefundene Bedingung ist folglich allem
nothwendig erfüllt zu werden, damit man der Integrabilität des
Differentials Mdx + Ndy sicher seyn kann, und wenn sie nicht
erfüllt wird, so kann der gegebene Ausdruck, weil er nicht durch
das Differentiiren einer ursprünglichen Function von zwei Ver
änderlichen entstanden seyn kann, kein genaues Differen
tial seyn
§. 279.
Zum Beispiele diene die gegebene Function
ydx — xdy
x 2 + y 2
Schreibt man dieselbe auf folgende Weise:
7 - x
dx
x 2 +y 2
so findet man nach und nach:
7
x 2 + y 2
6/,
M =
dM
dy
/M ax=y-
x 2 + y 2 '
X 2 — y 2
(x 2 +y 2 ) 2
ydx
N:
2 *
x 2 +y 2
dN
dx '
■/:
dx
y
= arc ^tang — v / also:
u = arc ^tang = i ^ -f* Y.
Differentiirt man nun m Bezug auf beide Veränderlichen, so er
hält man: