126 Integration vollständiger Differentiale. 
aus welchen nach §. 278. nothwendig hervorgeht: 
dM__dN dM_dP dN_dP 
dy dx ' dz dx ; dz dy* 
Bewähren sich diese Bedingungsgleichungen, so ist das gege 
bene Differential genau und kann dadurch integrirt werden, daß 
man bei einem beliebigen der abgeleiteten Differentiale mit zwei 
Veränderlichen die Integration anhebt. 
Wendet man z. B. auf das erste abgeleitete Differential mit 
zwei Veränderlichen 
Mdx-f-Ndy 
die ^ obige Methode (278.) an, und nennt das Resultat v, so 
erhält man: 
/slVl dx -j- Ndy -j- Pd z) = v + Z, 
wo Z eine Function von z allein ist, und von denjenigen Gliedern 
der gesuchten ursprünglichen Function herrührt, welche weder x 
noch y enthalten. Dieses vorausgesetzt differentiire man die beiden 
Seiten der letzten Gleichung, indem man alles variiren läßt, so 
findet man: 
M = d - N—- P dT ' iZ 
dx' dy' 1 ' 
Da aus der letzten Gleichung 
dZ 
dz da * 
und also 
_ _.p__ 
dz dz 
Z= =/(P^) dZ + COnSt * 
hervorgeht: so ist das gesuchte Integral unsers Differentials mit 
drei Veränderlichen gefunden. 
dv 
Da in unserm Resultate? 
dz 
weder x noch y enthalten 
darf, so muß man haben: 
dl? d 2 v dP d 2 v 
dx dxdz ' dy dydz ’ 
verwechselt man hier die Ordnung der doppelten Differentiale der 
v, und setzt für ^ und ~ ihre Werthe N und N: so erfolgt: 
dP dM ,dP dN 
dx dz ' dy dz * 
Da diese Bedingungen vereint mit der folgenden 
dM_ dN 
dy dx '