Trennung der Veränderlichen.
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Qi für z k. :
Mzeö Glied
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M und N nun
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x», trenn
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Zum Beispiele diene die Gleichung:
xdx -j- ydy = nydx.
Verwandelt man diese Gleichung in
(x — ny) dx 4- — o,
und nimmt die erwähnte Transformation vor, so wird hier:
Z=1 — nz, Z = z: folglich erhält man:
+ 5
Ix
+/r
zdz
Da
zdz
nz -j- 2
1 2zdz — ndz
a
ndz
1—nz-(-z 2 2 1—nz-j~z 2 1 2 1—nz-f-z*
so geht die vorhergehende Gleichung über in:
lx+*l(l~nz + z ») + L/;4.zQ^ C -
Das noch zu bestimmende Integral hangt von Logarithmen ab,
wenn ^ > 1, von Kreisbogen, wenn ~ < i und wird algebraisch
seyn, wenn^ — 1. Ich will hier nur dasjenige Resultat anfüh
ren , welches sich auf den letzten Fall bezieht. Man hat alsdann:
/ ndz ^ S~ 2dz 2
1—nz-j-z 2 J (j
1—nz-j-z 2 J (1 — z) 2
1(1—nz-j-z 2 )= 1 (1 — z) 3 ,
1—z
und folglich:
ix 4-1(1 — z)-J
durch seinen Werth ^ ersetzt:
10—y)+ X
Das Glied
1 — z
= C, oder wenn man 2
c.
x—y
x y
läßt sich in einen Logarithmen verwandeln,
wenn man bemerkt, daß zufolge der Definition der Neperschen
Logarithmen eine beliebige Größe u der Logarithmus der Zahl e u
ist. Hierdurch läßt sich die letzte Gleichung unter die folgende
Form bringen:
nach ableitet:
l(x-y)-j-le^
lo, woraus man nach und
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