136 Trennung der Veränderlichen (Ninatische Gleichung.)
(Ix — (1 7 1 |s dy (ly ~|
a by 2 ¿Y'a \y~a-j-y i^b a — jY~h J *
worauf die Integration darbietet:
1
T~ a -j- yK b'
+ C.
2 K~ab y'K”a —y'K"b /
Um die letzte Differentialgleichung homogen zu machen, mache
man
y=z k ,
so verwandelt sie sich in
kz^ --1 dz -f- b z 2k dx = ax m dx,
und nimmt die verlangte Form an, wenn k —1 —2k—r»,
welches k— — 1 giebt, und voraussetzt, daß man habe m — — 2.
Es erfolgt dann:
dz , bdx adx
Z 2 ‘ Z 2 X 2 *
Ich will nicht bei der Integration dieser Gleichung verweilen,
sondern zu einer allgemeinem Umwandlung übergehen, zu derje
nigen nämlich, die aus
y — Ax p -j- x q z
folgt. Durch diese Annahme findet man:
dy — (pAx p—1 + qx q ~ i z) dx -f- x q dz,
y 2 dx — (A’x 2 P -s- 2 Ax p + q z -j-x 2< l z 2 ) dx,
mithin
xldz (qx*! -1 -f- 2bAxP+1-j- b5C 2 1z) zdx
-j- (p AxP“ 1 -J- b A 2 x 2 P) dx — ax m dx.
Diese Gleichung wird sich auf drei Glieder reduciren lassen, wenn
p— 1— 2p, pA-j-bA 2 — o, q — 1—p-s-q, und qsi-2bA—O.
Die erste und dritte dieser Gleichungen geben übereinstimmend
i
P——1; aus der zweiten und vierten zieht man A—q——2.
Hieraus folgen
X" 2 dz + bx —4 z 2 dx = ax 111 dx , oder
dx
dz -4- bz 2 — = ax m ~b 3 dx,
' x 2
Folglich ist die gegebene Differentialgleichung zur Homogeneitat
gebracht, wenn m— — 2, allein man sieht nun auch, daß die
Veränderlichen getrennt werden, wenn
m=—4,