Integrabilitäts-Factor.
145
macht, und daß dieser Fall nur Statt finden kann, wenn Y
durchaus unabhängig von x ist.
§.292.
Eine homogene Function und deren Differential-Coefficien-
ten haben besondere Relationen, welche die Integration sehr er«
leichtern.
Bedeutet V eine homogene Function von oc, yrc., und sub-
stituirt man darin tx, tj:c. anstatt x, y rc., so nimmt sie noth
wendig die Form t m V an, wenn m die Summe der Exponen
ten der Veränderlichen in jedem Gliede ist (§. 283). Macht man
hierauf t — 1-f-g, so wird V zu (i + g) m V; durch dieselbe An
nahme verwandeln sich x, j, rc. respective in x-j-gx, yff-gy, rc.;
und macht man in der Formel des §. 4i. h=-gx und k = gy,
so gelangt man zur folgenden Gleichung
dV . dV
V +
dx
g*+^ gr+^
d-v
d 2 Y
1 id 2 V
+ 2 S^7+ap SV+!C.J
+ rc.
=(i+g) m V.
Entwickelt man die zweite Seite und vergleicht diejenigen Glieder
mit einander, welche dieselbe Potenz der unbestimmten g enthalten,
so findet man:
dV , , dY, . „
dx-l- dy-l-rc. —mV
dx dy 1
d 2 V
dx 2
, . d 2 V , d»v
x i 4- 2 —— xy 4- rr— y'* 4“ rc.:
* docdy J 1 dy 2
m(m—-1) V.
re.
§. 293.
Vermittelst dieser Relationen laßt sich der Jntegrablitats-Factor
r in den homogenen Differentialgleichungen ziemlich leicht bestim
men. H. Poisson gelangt dazu nach folgendem Verfahren, wel
ches genauer ist als dasjenige , dessen sich Euler zuerst bediente.
Wenn
Mdx-j-Ndy = o
eine homogene Function, und die Summe der Exponenten von
X und y sowohl in M als in N gleich m ist: so nehme man
an, 2 sey auch eine homogene Function, vom Grade n, und
mache dann
Madx -J- Nzdy = d u,
10