146 Differrntia lgleichungen der ersten Ordnung
M = o an, so erhalt man bloß dM . NP = o, oder auch nur
dM — o: mithin befriedigt die Gleichung
MNP... = o
die Differentialgleichung , welche durch die Gleichung
M = o
befriedigt werden würde.
Die beiden folgenden wenn gleich sehr einfachen Beispiele
werden alle Schwierigkeiten lösen, die man noch in Vorstehen
dem antreffen möchte.
§. 295.
Das erste Beispiel sey:
dy 2 — a 2 dx 2 = o.
Diese Gleichung zerlegt sich in die Factoren
dy-J-adx— o, dy— adx = o,
deren Integrale sind,
y4-ax:=c, y—ax = c';
es ist leicht zu sehen, daß jedes dieser Resultate der gegebenen
Differentialgleichung genügt. Es genügt ihr nicht minder die
Gleichung
(y -f- ax — c) (y — ax — (/) — 0;
denn diese giebt:
(y -f- ax — c) (dy — adx) -f- (y — ax — c') (dy+adx) — o, weßhalb
d r — [(y + ax ~ °) — (j — ™— c')] adx
'ly ■— (c -j— c') ’
und setzt man nach und nach für y ihre Werthe c — ax, c'+ ax,
so findet man:
dy — — adx, dy=-J-adx,
Da das Integral
(y-f- ax — c) (y — ax — c') — o
zwei willkürliche und nicht reducirbare Constanten enthält, so
scheint es allgemeiner zu seyn, als diejenigen der andern Glei
chungen von der ersten Ordnung, welche nur eine Constante zu
lassen; allein man muß wohl beachten, daß jeder ihrer Factum
nur einzeln betrachtet werden muß, und daß man aus ihm keine
andern Linien ableiten kann als solche, welche aus einem Inte
grale abgeleitet würden, welches nur eine einzige Constante ent
hielte, wie man deren auch eins für die gegebene Gleichung fin
den kann. Um dasselbe nämlich zu erhalten, mache man
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