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Differentialgleichungen
dx u
X/ J ' dx' dx 2 ' * * * dx 11 " 1
dy d 2 y d 11 “ -1 ^'
woraus man durch wiederholte Differentiationen die Werthe von
dx'H-V,- dx“t 2 :C
ableitet, indem man nach jeder Differentiation Sorge trägt, für
Q n y
~- den von der gegebenen Gleichung dargebotenen Werth zu sub-
stiruiren. Hierdurch erhält man alle Differential -Coefficienten,
von der n tcn Ordnung an, in Function der ursprünglichen Verän
derlichen und der n— i ersten auf einander folgenden Differen
tial-Coefficienten ausgedrückt.
Kann man in diesen Functionen x = o machen, obne daß
sie aufhören reell und endlich zu bleiben, so muß man noch, um
die durch sie ausgedrückten Differential - (Koefficienten vollends zu
bestimmen, die den Größen
dy d 2 y d n ~ _I y
5 ' dx ' dx 2 ' " ' dx 11 ” 1
entsprechenden Werthe, welche die gegebene Gleichung nicht dar
bietet, beliebig nehmen; und stellt man diese durch
A, Az, A^, A3, . . . . Aj
dar, so erhält man für einen beliebigen Werth von x
in welcher Reihe die Coefficienten der n ersten Glieder willkührliche
Constanten sind.
Trüge es sich zu, daß die Annahme von x —o den Aus
druck des n tcn oder eines folgenden Differential-Coefficienten zum
Verschwinden brachte, so würde man x = a machen, wofern a
einen beliebigen Werth bedeutet, der jene Wirkung nicht hervor
bringt, und man würde alsdann erhalten:
in welcher Reihe die willkürlichen Größen A, A lf A 2 ,.... A n _ x
diejenigen Werthe von y und von ihren Differential-Coefficienten
sind, welche x—a entsprechen.
Man sieht auf die eine wie auf die andere Weise, daß man,