156
Differentialgleichungen
F ‘ ( X/7 'dx' C ' ° 1 )— °
andeuten will, und nimmt an,
x—a entspreche y—b, ^ — c,
so hat man die beiden Gleichungen
F(a,b,C,C,) = o, Fi ( a ,b, C/ C,Cj) = o,
vermittelst welcher man C und C, durch solche Ausdrücke in
a, b und c bestimmt, welche sich bei den Differentiationen und
Eliminationen wie die einfachen Buchstaben 6 und enthalten.
§. 300.
Diese Betrachtungen führen uns zur Entstehung von Diffe
rentialgleichungen durch Elimination von Constanten, wovon wir
im §. 54. ein zur zweiten Ordnung führendes Beispiel sahen.
Geht man von der Gleichung
y 2 = m (a 2 — x 2 ) (II)
aus, so führt eine einmalige Differentiation zu
ydy — — mxdx (V)
welches Resultat a nicht mehr enthalt; hierauf giebt eine noch
malige Differentiation, worauf man die Elimination von »r
folgen läßt, die Gleichung von der zweiten Ordnung
iVjr
dx 2
— o (Z),
welche keine der Constanten m und a mehr enthalt.
Diese selbige Gleichung kann auch dadurch erhalten werden,
daß man mit der Elimination von m zwischen der Grundglei
chung und ihrem ersten Differential beginnt, welches
xydx-|-dy(a 2 —x 2 ) — o (V')
giebt, und hierauf diese differentiirt, um die Constante a zuletzt zu
eliminiren.
Endlich könnte man auch, wenn die Constante a bei der
ersten Differentiation nicht von selbst verschwände, damit begin
nen, die Gleichung (II) zweimal nach einander zu differentiiren
und hierauf die Constanten m und a zwischen (II) und ihrem er
sten und zweiten Differentiale eliminiren.
Welche von den drei vorhergehenden Verfahrungsweisen man
auch befolgt, so gelangt man immerhin zur Gleichung (Z); allein
man muß beachten, daß jede der Gleichungen (V) und (V'),
weil sie durch Differentiation und Elimination einer Constante
zu derselben (Z) m's Besondere führt, deren Integral ist. Man