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von höherer Ordnung. 
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nennt deßhalb auch (V) und (V') erste Integrale von (Z), 
um sie von der Gleichung (17) zu unterscheiden, welche zweites 
oder ursprüngliches Integral von (Z) genannt wird, weil (Z) 
nur von der zweiten Ordnung ist. 
Man sieht hieraus, daß eine Differentialgleichung von der 
zweiten Ordnung zwei erste Integrale haben kann, und daß, 
wenn man zwischen diesen den Differential - Coefficienten ^ 
eliminirte, zwischen x und y und zwei willkürlichen Constanten 
eine ursprüngliche Gleichung erhalten würde, welche mit der 
Gleichung (17) zusammenfallen müßte, weßhalb es also hinreicht, 
die beiden ersten Integrale zu kennen, um das zweite Integral 
finden zu können. 
Diese Bemerkungen lassen sich auf Gleichungen von jeder 
Ordnung ausdehnen. Bei der dritten z. B. muß die ursprüng 
liche Gleichung drei willkürliche Constanten erhalten (299.), weil 
man die vier Gleichungen hat: 
17 — 0, dü = o, d 2 U — o, d3U = o; 
allein wenn man zuerst zwischen den Gleichungen 17 — o, dU = o, 
d 2 U = o zwei der willkürlichen Constanten eliminirt, so erhält 
man drei Differentialgleichungen von der zweiten Ordnung, weil 
man nach und nachrede der drei Constanten beibehalten kann. 
Die auf diese Weise erhaltenen Gleichungen sind erste Inte 
grale der Differentialgleichung von der dritten Ordnung, welche 
aus der Elimination der in ihnen enthaltenen Conftante noth 
wendig hervorgeht. Die zweiten Integrale sind hier die 
Gleichungen von der ersten Ordnung, welche die Elimination 
einer jeden der Constanten zwischen den Gleichungen 17 —o und 
d17 — o darbietet, und die ursprüngliche Gleichung 17 —o ist 
hier das dritte Integral. Ohne diese Betrachtungen weiter 
fortzusetzen, läßt sich aus ihnen schließen, daß eine Diffe 
rentialgleichung von der n tm Ordnung n erste In 
tegrale hat; und da diese Integrale von der n — it-n Ord 
nung sind, so enthalten sie nur die n— i Differential-Coef 
ficienten 
dy d 5 y d n—J y 
dx ' dx 2 dx ll—i ' 
kann man diese also eliminiren, so erhält man das rll« Integral 
d. i. die ursprüngliche Gleichung, welche der gegebenen Diffe 
rentialgleichung von der n tcn Ordnung entspricht. 
§. 301. 
Um die vorhergehende Theorie zu verallgemeinern, leitete 
Lagrange, vermittelst der Taylorschen Reihe, jene Vielheit von